WebViewのCookieを操作するには、例えば https://github.com/joeferraro/react-native-cookies などが使えます。

が、linkだとかなんとか面倒くさい。
全消したいだけやねんけど。

そんなときに、かなり簡単な方法があるようです。

import { NativeModules } from 'react-native';

NativeModules.Networking.clearCookies(() => { });

clearCookies の引数（コールバック）は必ず書かないとクラッシュするようです。