ERROR: While executing gem ... (Gem::FilePermissionError)
You don't have write permissions for the /usr/bin directory.
というエラーでCocoaPodsがインストールできないとき、以下のコマンドでインストールしてみてください。
sudo gem install cocoapods -n /usr/local/bin
これは/usr/binに権限がないから、/usr/local/binにインストールしてねって意味です。