はじめに
複素数の三角関数計算は、普通の関数電卓や電卓アプリではサポートされていません。
たとえば「sin(2+3i)」を計算しようとすると、多くの場合「Error」と表示されます。
この記事では、まず人間が手計算で「sin(2+3i)」を解く手順を紹介し、その後に Windows向け関数電卓ソフト「S-Calc」 を使って実際に計算した結果をお見せいたします。
人間が手計算する場合
1. 定義式
複素数の三角関数は、指数関数を使って定義されます。
$$
\sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}
$$
2. izの計算
$$
iz = i(2+3i) = 2i-3
$$
したがって、
$$
e^{iz}=e^{-3+2i}=e^{-3}(\cos2+i\sin2)
$$
同様に、
$$
e^{-iz}=e^{3-2i}=e^{3}(\cos(-2)+i\sin(-2))=e^{3}(\cos2-i\sin2)
$$
3. 定義式に代入
$$
\sin(2+3i)=\frac{e^{-3}(\cos(-2)+i\sin(-2))-e^{3}(\cos2-i\sin2)}{2i}
$$
4. 実部・虚部を整理
$$
=\frac{(e^{-3}-e^{3})\cos2}{2i}+\frac{(e^{-3}+e^3)\sin2}{2}
$$
5. 双曲線関数を使って書き換え
$$
e^3+e^{-3}=2\cosh3,e^3-e^{-3}=2\sinh3
$$
したがって、
$$
\sin(2+3i)=\sin2\cosh3+i\cos2\sinh3
$$
6. 数値計算
$$
\sin(2+3i)≈9.154499-4.168907i
$$
S-Calcでの計算結果
同じ式をS-Calcで計算すると、一瞬で答えが表示されます。
実際のショート動画はこちら
👉 YouTube Shorts: sin(2+3i) を計算してみた
他の「普通の電卓では難しい」例
S-Calcは以下のような計算も即座に解けます。
まとめ
- 「sin(2+3i)」のような複素数の三角関数は、人間が手で計算しようとすると指数関数や双曲線関数を使う必要があり、非常に複雑です。
- S-Calcを使えば、一瞬で結果を得られます。