統計検定１級対策に、統計分野の院試問題を解いてみました。
間違っているかもしれないので、指摘してもらえると嬉しいです。
問題は、以下にあります。
https://www.sigmath.es.osaka-u.ac.jp/Inshi/r03.pdf

(1)

$\mu$に対する最尤推定量は$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$なので、最尤推定量の不変性から$\theta=\mu^3$に対する最尤推定量Sは、
$$
S = \bar{X}^3 = \big( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\big)^3
$$

(2)

$\bar{X} \sim N(\mu,1/n)$なので、
$$
Z:= \frac{\bar{X} - \mu }{\sqrt{1/n}} \sim N(0,1)
$$
である。$E[Z]=E[Z^3]=0, E[Z^2]=1$に注意すると、

$$
E[S] = E[(\mu+Z/\sqrt{n})^3] = \mu^3+\frac{3\mu}{n}
$$
である。$E[U]=n\mu$なので、$T$が$\theta$の不偏推定量となるには

$E[T] = E[S] - \frac{a}{n^2}E[U] = \theta + (\frac{3}{n} -\frac{a}{n})\mu = \theta $であればよい。

よって、$a=3$である。

(3)

平均二乗誤差は推定量の分散とバイアスの二乗に分解できるので、$T$が$\theta$の不偏推定量であることに注意すると、それぞれ以下のように計算できる。

\begin{align}
&E[(T-\theta)^2]=V[T]\\
&E[(S-\theta)^2] = V[S] + (E[S] - \theta)^2 = V[S] + \frac{9\mu^2}{n^2}
\end{align}

$T=S -\frac{3\bar{X}}{n}$なので、

$$
V[T] = V[S] + \frac{9}{n^2}V[\bar{X}] - \frac{6}{n}Cov[S,\bar{X}]
$$
である。ここで、

\begin{align} 
&V[\bar{X}] = E[\bar{X}^2] - E[\bar{X}]^2= 1/n     \\
&Cov[S,\bar{X}] = E[\bar{X}^4] - E[S]E[\bar{X}]=E[\bar{X}^4] - \mu^2(\mu^2+3/n)
\end{align}

である。$E[Z^4]=V[Z^2] + E[Z^2]^2 = 2 + 1 = 3$であることに注意すると¹
$$
E[\bar{X}^4] = E[(\mu + Z/\sqrt{n})^4]=E[\mu^4 + \frac{6\mu^2}{n}Z^2+\frac{1}{n^2}Z^4]=\mu^4+6\mu^2/n + 3/n^2
$$

よって、

$$
Cov[S,\bar{X}] = 3\mu^2/n + 3/n^2 = \frac{3}{n^2}(n\mu^2 +1)
$$

以上から、
$$
V[T] = V[S] + 9/n^3 - \frac{18}{n^3}(n\mu^2 +1) = V[S] - 9/n^3(2n\mu^2+1)
$$

よって、
$$
E[(S-\theta)^2] - E[(T-\theta)^2] = 9\mu^2/n^2 + 9/n^3(2n\mu^2+1) > 0
$$

すなわち、
$$
E[(T-\theta)^2] < E[(S-\theta)^2]
$$
が示せた。

感想

計算が重かったので色々工夫しないと厳しそうですね。統計検定で出題されてもおかしくなさそうな問題でいい演習になりました。

標準正規分布の２乗は自由度1のカイ二乗分布に従うので、その分散は2です。 ↩