圏論自習メモ

圏の定義

$圏C$(category)とは、下記の2つから構成され、下記の4条件をすべて満たすもののことである。

• 2つの構成要素
  • 対象(object) の集まり $\{a, b, c, ...\}$
  • 射(morphism, arrow) の集まり $\{f, g, h, ...\}$
• 4つの条件
  • 各射$f$に対して、下記の2つ（射の始点・終点）が定まっている
    • $f$のドメイン(domain)とよばれる対象（射の始点）
    • $f$のコドメイン(codomain)とよばれる対象（射の終点）
  • 任意の射$f, g$について、$f$と$g$の合成と呼ばれる射$g \circ f$が定まっている
    • 任意の対象$a, b$に対する射を$f:a \to b$と表現するとき、任意の対象$a, b, c$に対する射$f:a \to b$, 射$g:b \to c$について、射$g \circ f:a \to c$ となる
  • 任意の射$f, g, h$に関して、結合律を満たす
    • $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$
  • 任意の対象$a$に対して恒等射が存在し、単位律を満たす
    • 各対象$a$に対する恒等射 $1_a: a \to a$があり、任意の射$f$ について、$f = f \circ 1_a = 1_a \circ f$ が成り立つ
• 用語・記法の定義
  • $圏C$ の対象全体からなる集まり ... $Ob(C)$ ¹
  • $圏C$ の射全体からなる集まり ... $Mor(C)$ ¹
  • 対象$a, b \in Ob(C)$ について、対象$a$から対象$b$への射全体からなる集まり(ホムセット) ... $C(a, b)$
  • $対象a$から$対象b$への射 ... $f: a \to b$ もしくは $f \in C(a, b)$
  • $射f$ のドメイン ... $\rm{dom} \, f$
  • $射f$ のコドメイン ... $\rm{cod} \, f$
  • $射f, g$の合成 ... $g \circ f = gf$ ²
  • 対象$a \in Ob(C)$ に対する恒等射 ... $1_a$ ³

▼参考書籍
「はじめての圏論」講談社(ブルーバックス), p.75
「ストリング図で学ぶ圏論の基礎」森北出版, p.7～9

1. $Ob(C)$ や $Mor(C)$ について、書籍によっては、$\rm{ob} \, C$ や $\rm{mor} \, C$のように表記されていることがある。
   Latex式での記述の簡潔さを優先し、このページでは前者のように記載することとする。 ↩ ↩²

2. 射の合成 $g \circ f$ について、「はじめての圏論」においてはレアケース的に $f⨾g$ のように表記されている。
   このページでは、前者のように記載することとする。 ↩

3. 恒等射 $1_a$ について、identity から $id_a$ と表記されていることがある。 ↩