先に結論

MySQLでDBのカラムの値を使って部分一致検索をするやり方

コツは、

例

create table user
(
   id BIGINT NOT NULL PRIMARY KEY AUTO_INCREMENT,
   name VARCHAR(256) NOT NULL UNIQUE,
   public_profile VARCHAR(256)
)

select id
from user u
where u.public_profile like concat('%', u.name, '%')
  and ifnull(length(u.name), 0) > 0;