dbPath 変更後、Permission denied: "/path/to/mongod.lock" に悩まされました。権限周りは問題なさそうなのだが。

MongoDB を停止する

sudo service mongod stop

データベースの保存先を変更する

sudo vi /etc/mongod.conf

#  dbPath: /var/lib/mongodb
  dbPath: /path/to

mv /var/lib/mongodb/ /path/to

sudo chown -R  mongodb /path/to

sudo chmod +r /path
sudo chmod +x /path

このように一個上のディレクトリに権限を与えたら解決しました。

sudo service mongod start