テストでよくある,「回路の真理値表を作成せよ」の問題を,数式だけでできないかと考えたのでその結果を書きます。しかしどうにも先駆者がいそう...

基本公式

OR(a,b)=a+b-ab\\
AND(a,b)=ab\\
XOR(a,b)=(a-b)^2\\
NOT(a)=1-a

以上が論理回路を解くうえで基本となる,言うなれば公式です.
また,定理として

(n\in\mathbb{N})で,\\
a^n=a,~~(1-a)^n=1-a\\
a(1-a)=0

も使う場面があるので覚えておくと役に立ちます.

例題

以下の問題は,基本情報技術者平成21年春期から引用しました.
問題引用元

先ほどの式たちを使うと,(見やすさのため小文字にします)

X=OR(AND(a,b),NOT(b))\\
=OR(ab,(1-b))\\
=ab+(1-b)-ab(1-b)\\
=1-b+ab^2\\
=1-b+ab\\
=1-b(1-a)

となるので,真理値表は以下の通りになる.

このような簡単な回路なら,「普通に真理値表描いた方が早くね?」と感じざるを得ないですが,もっと複雑な回路でも論理的に解くことが可能です.
使う機会があるかはわかりませんが...