Python3ではじめるシステムトレード：事象（集合演算）に関する確率の基礎問題

Last updated at 2025-10-21Posted at 2025-10-16

最小のσ加法族と原子分割

有限個の事象 $E_1,\dots,E_n$ が与えられたら，$\Omega$ を
$$\bigcap_{i=1}^n E_i^{\varepsilon_i},\quad\varepsilon_i\in\lbrace 1,c\rbrace$$
の形の原子（atom）へ分割する（空集合は除外）。これは $\sigma(E_1,\dots,E_n)$ を生成する原子分割(最小可測分割)だ。
以後は各原子の確率を変数に置き，
1. 非負性，2) 総和 $=1$，3) 周辺確率や独立の制約
  を線形制約として課す——これで Fréchet 境界や独立時の値が機械的に導ける。

注意：

「まずは $\sigma$加法族が最小となる素な空間に分割」→用語を整えると
「$\sigma(E_1,\dots,E_n)$ が生成される最小の可測分割（原子分割）に切る」が適切。
事象が無限族だと原子は無限になり得て，実務上は有限部分族で扱う。

Fréchet（フレーシェ）境界：

与えられた周辺確率だけから，積（∩）や和（∪）の確率が取りうる最小–最大を与える鋭い（達成可能な）境界だ。独立は不要。

一般 $n$ 事象 $E_1,\dots,E_n$

\max\Bigl\{0, \sum_{i=1}^n P(E_i)-(n-1)\Bigr\} \le\ P\Bigl(\bigcap_{i=1}^n E_i\Bigr)\ \le\ \min_i P(E_i),

\max_i P(E_i) \le\ P\Bigl(\bigcup_{i=1}^n E_i\Bigr) \le \min\Bigl\{1,\ \sum_{i=1}^n P(E_i)\Bigr\}.

導出の要点（最短）

下限は補集合と union bound：
$$P(\cap E_i)=1-P(\cup E_i^c)\ge 1-\sum P(E_i^c)=\sum P(E_i)-(n-1).$$
上限は包含：$\cap E_i\subset E_j$（任意の $j$），$\cup E_i\supset E_j$。

達成可能性

境界は鋭い（tight）。適切な原子分割の配置で上下端が実現可能。

例：$P(A)=P(B)=P(C)=\tfrac34$

$$
\tfrac14\ \le\ P(ABC)\ \le\ \tfrac34,\qquad
\tfrac34\ \le\ P(A\cup B\cup C)\ \le\ 1.
$$

（用語メモ：Fréchet–Hoeffding 境界とも。）

2事象の例

$$
\max \lbrace 0,\ P(A)+P(B)-1 \rbrace \le\ P(A\cap B)\ \le\ \min\lbrace P(A),P(B)\rbrace,
$$
$$
\max\lbrace P(A),P(B)\rbrace\ \le\ P(A\cup B)\ \le\ \min\lbrace 1,\ P(A)+P(B)\rbrace.
$$

二事象 $A,B$ に対する Fréchet 境界を，$\Omega$ の原子分割で証明する。

原子分割

$$
\begin{aligned}
E_1&=A\cap B,\quad
E_2=A\cap B^c,
E_3&=A^c\cap B,\quad
E_4=A^c\cap B^c.
\end{aligned}
$$
互いに素で $\Omega=E_1\cup E_2\cup E_3\cup E_4$。各確率を $p_i=P(E_i)\ (\ge0)$ とおく。

このとき
$$
P(A)=p_1+p_2,\quad
P(B)=p_1+p_3,\quad
P(A\cap B)=p_1,\quad
1=p_1+p_2+p_3+p_4.
$$

上限

$A\cap B\subset A$ および $A\cap B\subset B$ より
$$
P(A\cap B)=p_1\le p_1+p_2=P(A),\qquad
P(A\cap B)=p_1\le p_1+p_3=P(B).
$$
ゆえに
$$
P(A\cap B)\le \min{P(A),P(B)}.
$$

下限

$$
\begin{aligned}
1&=p_1+p_2+p_3+p_4\
&=(p_1+p_2)+(p_1+p_3)-p_1+p_4\
&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)+p_4
\end{aligned}
$$
(加算加法性+互いに素)

より $p_4\ge0$ を用いて
$$
P(A\cap B)\ge P(A)+P(B)-1.
$$

結論

$$
P(A)+P(B)-1\ \le\ P(A\cap B)\ \le\ \min\lbrace P(A),P(B)\rbrace.
$$

鋭さ（達成可能性）

上限達成：$A\subset B$（すなわち $p_2=0$）なら $P(A\cap B)=P(A)$。
下限達成：$A$ と $B$ を可能な限り離して $P(A\cup B)=1$（すなわち $p_4=0$）にすると $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-1$。

統計検定一級2022数理問1

確率空間の事象 $A, B, C$ の確率がそれぞれ

$$ P(A) = P(B) = P(C) = \frac{3}{4} \tag{1} $$

であるとする。以下の各問に答えよ。

[1] 事象 $A, B, C$ が互いに独立なとき、$P(A \cap B)$ および $P(A \cap B \cap C)$ をそれぞれ求めよ。

[2] 事象 $A$ と $B$ が互いに独立とは限らないとき、$P(A \cap B)$ の取り得る値の範囲を求めよ。

[3] 事象 $A, B, C$ が互いに独立とは限らないとき、$P(A \cap B \cap C)$ の取り得る値の範囲を求めよ。

[4] 条件 (1) に加え、さらに条件

$$ P(A \cap B) = P(A)P(B), P(A \cap C) = P(A)P(C), P(B \cap C) = P(B)P(C) $$

を追加したとき、$P(A \cap B \cap C)$ の取り得る値の範囲を求めよ。

[1] 略

[2]

二事象 $A,B$ の原子分割
$$
\begin{align*}
&E_1=AB,\quad\
&E_2=AB^c,\quad\
&E_3=A^cB,\quad\
&E_4=A^cB^c
\end{align*}
$$
$p_i=P(E_i)\ (\ge0)$ とおく。すると
$$
P(A)=p_1+p_2,\quad P(B)=p_1+p_3,\quad P(AB)=p_1,\quad 1=p_1+p_2+p_3+p_4.
$$

非負性より
$$
p_1\le p_1+p_2=P(A),\quad p_1\le p_1+p_3=P(B)\ \Rightarrow\ p_1\le \min\lbrace P(A),P(B)\rbrace.
$$
また
$$
1=(p_1+p_2)+(p_1+p_3)-p_1+p_4
= P(A)+P(B)-P(AB)+p_4
$$
から $p_4\ge0$ を用いて
$$
P(AB)=p_1\ge P(A)+P(B)-1.
$$

以上より
$$
P(A)+P(B)-1\ \le\ P(A\cap B)\ \le\ \min\lbrace P(A),P(B)\rbrace.
$$
本問では $P(A)=P(B)=\tfrac34$ なので
$$
\tfrac12\ \le\ P(A\cap B)\ \le\ \tfrac34.
$$

[3]

三事象の原子を

\begin{aligned}
&E_1=ABC,\\
&E_2=ABC^c,\\ 
&E_3=AB^cC,\\ 
&E_4=A^cBC,\\
&E_5=AB^cC^c,\\ 
&E_6=A^cBC^c,\\ 
&E_7=A^cB^cC,\\
&E_8=A^cB^cC^c
\end{aligned}

とし，$p_i=P(E_i)\ (\ge0)$，$\sum_{i=1}^8p_i=1$ と置く。すると

\begin{aligned}
&P(A)=p_1+p_2+p_3+p_5,\quad\\
&P(B)=p_1+p_2+p_4+p_6,\\
&P(C)=p_1+p_3+p_4+p_7,\quad\\
&P(ABC)=p_1.
\end{aligned}

上限は包含から直ちに
$$
P(ABC)=p_1\le \min\lbrace P(A),P(B),P(C)\rbrace.
$$

下限は $S:=P(A)+P(B)+P(C)$ を用いて導く。上の和から
$$
S=3p_1+2(p_2+p_3+p_4)+(p_5+p_6+p_7).
$$
一方，$1=\sum_{i=1}^8p_i=p_1+(p_2+p_3+p_4)+(p_5+p_6+p_7)+p_8$ より
$$
(p_2+p_3+p_4)+(p_5+p_6+p_7)\le 1-p_1.
$$
$S$ を固定して $p_1$ を最小化するには，係数が大きい項にできるだけ割り当てればよいので
$(p_2+p_3+p_4)=1-p_1,\ (p_5+p_6+p_7)=0$ とすると
$$
S\le 3p_1+2(1-p_1)=p_1+2 \ \Rightarrow\ p_1\ge S-2.
$$
また $p_1\ge 0$ だから
$$
P(ABC)\ge \max\lbrace S-2,\ 0\rbrace.
$$

以上より Fréchet 境界
$$
\max\lbrace P(A)+P(B)+P(C)-2,\ 0\rbrace\ \le\ P(ABC)\ \le\ \min\lbrace P(A),P(B),P(C)\rbrace.
$$

本問では $P(A)=P(B)=P(C)=\tfrac34$ なので
$$
\tfrac14\ \le\ P(ABC)\ \le\ \tfrac34.
$$

（達成例：下限は $p_1=\tfrac14,\ p_2=p_3=p_4=\tfrac14,\ \text{他}=0$。上限は $A=B=C$ とすれば $p_1=\tfrac34$。）

[4]

\begin{aligned}
&E_1=ABC,\\
&E_2=ABC^c,\\ 
&E_3=AB^cC,\\ 
&E_4=A^cBC,\\
&E_5=AB^cC^c,\\ 
&E_6=A^cBC^c,\\ 
&E_7=A^cB^cC,\\
&E_8=A^cB^cC^c\\
&p_i=P(E_i)\ (\ge0)
\end{aligned}

条件より $P(A)=P(B)=P(C)=\tfrac34$、

対独立で $P(AB)=P(AC)=P(BC)=\left(\tfrac34\right)^2=\tfrac{9}{16}$。

$x:=P(ABC)=p_1$ とおくと

\begin{aligned}
p_2&=P(AB)-P(ABC)=\tfrac{9}{16}-x,\\
p_3&=P(AC)-P(ABC)=\tfrac{9}{16}-x,\\
p_4&=P(BC)-P(ABC)=\tfrac{9}{16}-x,\\
p_5&=P(A)-P(AB)-P(AC)+P(ABC)=x-\tfrac{3}{8},\\
p_6&=x-\tfrac{3}{8},\qquad\\
p_7&=x-\tfrac{3}{8},\\
p_8&=1-\sum_{i=1}^7 p_i
=1-\Bigl[x+3\Bigl(\tfrac{9}{16}-x\Bigr)+3\Bigl(x-\tfrac{3}{8}\Bigr)\Bigr]
=\tfrac{7}{16}-x.
\end{aligned}

非負性 $p_i\ge0$ から
$$
x\ge \tfrac{3}{8},\qquad x\le \tfrac{9}{16},\qquad x\le \tfrac{7}{16}.
$$
よって最終的に
$$
\tfrac{3}{8}\ \le\ P(A\cap B\cap C)=x\ \le\ \tfrac{7}{16}.
$$

（達成例：$x=\tfrac{3}{8}$ では $p_5=p_6=p_7=0,\ p_2=p_3=p_4=\tfrac{3}{16},\ p_8=\tfrac{1}{16}$。$x=\tfrac{7}{16}$ では $p_8=0,\ p_2=p_3=p_4=\tfrac{1}{8},\ p_5=p_6=p_7=\tfrac{1}{16}$。）

# Redraw the figures with smaller sizes and slightly smaller labels.
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.patches import Circle

# ---------- [4] pairwise independent: area-faithful mosaic (smaller) ----------
PA = PB = PC = 3/4
PAB = PAC = PBC = (3/4)**2

def atoms_case4(x):
    p1 = x
    p2 = PAB - x
    p3 = PAC - x
    p4 = PBC - x
    p5 = PA - PAB - PAC + x
    p6 = PB - PAB - PBC + x
    p7 = PC - PAC - PBC + x
    p8 = 1 - (p1+p2+p3+p4+p5+p6+p7)
    return dict(p1=p1,p2=p2,p3=p3,p4=p4,p5=p5,p6=p6,p7=p7,p8=p8)

LABELS = {
    "p1":"ABC", "p2":"AB C^c", "p3":"A B^c C", "p4":"A^c B C",
    "p5":"A only", "p6":"B only", "p7":"C only", "p8":"none"
}

def draw_mosaic_small(probs, title):
    items = list(probs.items())
    items.sort(key=lambda kv: -kv[1])
    x0, y0, w, h = 0.0, 0.0, 1.0, 1.0
    horizontal = True
    remaining = sum(v for _, v in items)
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(4.2,3.6))
    for k, val in items:
        if val <= 0: continue
        frac = val / remaining if remaining>0 else 0
        if horizontal:
            ww = w * frac; rect = (x0,y0,ww,h); x0 += ww; w -= ww
        else:
            hh = h * frac; rect = (x0,y0,w,hh); y0 += hh; h -= hh
        horizontal = not horizontal
        ax.add_patch(plt.Rectangle((rect[0], rect[1]), rect[2], rect[3],
                                   edgecolor='black', facecolor=None, fill=False, linewidth=1.2))
        cx, cy = rect[0]+rect[2]/2, rect[1]+rect[3]/2
        ax.text(cx, cy, f"{LABELS[k]}\n{probs[k]:.4f}", ha='center', va='center', fontsize=9)
        remaining -= val
    ax.set_xlim(0,1); ax.set_ylim(0,1); ax.set_aspect('equal'); ax.axis('off')
    ax.set_title(title, fontsize=11)
    plt.tight_layout()
    plt.show()

for x, name in [(3/8,"[4] Lower bound x=3/8"),
                ((3/4)**3,"[4] Independence x=(3/4)^3"),
                (7/16,"[4] Upper bound x=7/16")]:
    draw_mosaic_small(atoms_case4(x), name)

# ---------- [3] marginals only: smaller Venn-number (labels only) ----------
def feasible_a_interval(x):
    a_min = max(0.0, (5/4 - 2*x)/3)
    a_max = (3/4 - x)/2
    return a_min, a_max

def atoms_from_xa(x, a):
    b = 3/4 - x - 2*a
    p1 = x
    p2 = p3 = p4 = a
    p5 = p6 = p7 = b
    p8 = 1 - (p1 + 3*a + 3*b)
    return dict(p1=p1,p2=p2,p3=p3,p4=p4,p5=p5,p6=p6,p7=p7,p8=p8)

def venn_numbers_small(p, title):
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(4.2,4.0))
    r = 1.2
    A, B, C = (0.0,0.0), (1.4,0.0), (0.7,1.1)
    for (cx, cy) in [A,B,C]:
        ax.add_patch(Circle((cx,cy), r, fill=False, linewidth=1.5))
    ax.text(-0.15,-1.45,"A", fontsize=10); ax.text(1.55,-1.45,"B", fontsize=10); ax.text(0.7,2.3,"C", fontsize=10)
    ax.text(0.7,0.3,  f"ABC\n{p['p1']:.4f}", ha='center', fontsize=9)
    ax.text(0.2,-0.1, f"AB C^c\n{p['p2']:.4f}", ha='center', fontsize=9)
    ax.text(0.5,0.8,  f"A B^c C\n{p['p3']:.4f}", ha='center', fontsize=9)
    ax.text(0.95,0.8, f"A^c B C\n{p['p4']:.4f}", ha='center', fontsize=9)
    ax.text(-0.5,0.2, f"A only\n{p['p5']:.4f}", ha='center', fontsize=9)
    ax.text(1.95,0.2, f"B only\n{p['p6']:.4f}", ha='center', fontsize=9)
    ax.text(0.7,2.0,  f"C only\n{p['p7']:.4f}", ha='center', fontsize=9)
    ax.text(2.2,-1.4, f"none\n{p['p8']:.4f}", ha='center', fontsize=9)
    ax.set_xlim(-1.2,2.6); ax.set_ylim(-1.8,2.4); ax.set_aspect('equal'); ax.axis('off')
    ax.set_title(title, fontsize=11); plt.tight_layout(); plt.show()

# Cases for [3]
for x, name in [(1/4, "[3] Lower bound x=1/4"),
                (0.50,"[3] Interior x=0.50"),
                (3/4, "[3] Upper bound x=3/4")]:
    a_min, a_max = feasible_a_interval(x); a = 0.5*(a_min+a_max)
    p = atoms_from_xa(x, a)
    venn_numbers_small(p, name)