ライブラリを使うと

Pythonでは標準ライブラリで三角関数の計算ができます。

$ python3
Python 3.10.2 (main, Mar  9 2022, 20:22:18) [GCC 7.5.0] on linux
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> import math
>>> math.sin(0.1)
0.09983341664682815

これを使わずに三角関数を計算してみます。
理由は特にありません。暇つぶしです。

マクローリン展開

マクローリン展開を使うと、三角関数を多項式に置き換えることが出来ます。

f(x) = \sum_{k=0}^{\infty}f^{(k)}(0)\frac{x^k}{k!}

$\sin(x)$のマクローリン展開は以下の通りです。

\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}

これを実装します。

sin.py

# -*- coding:utf-8 -*-

def fact(x):
    if x == 0: return 1
    else: return x * fact(x-1)

def sin(x):
    ans = 0.0
    for k in range(30):
        ans += (-1 if k%2 else 1) * (x**(2*k+1)) / fact(2*k+1)
    return ans

if __name__ == "__main__":
    import math
    print("自作", sin(0.1))
    print("math", math.sin(0.1))
    print("差分", abs(sin(0.1) - math.sin(0.1)))

"""
$ python3 sin.py
自作 0.09983341664682817
math 0.09983341664682815
差分 1.3877787807814457e-17
"""

それっぽい値がでました。

高階関数

Pythonでは関数も第一級オブジェクトですので、関数$g(n)=f^{(n)}(0)$を受け取って関数$f$を返すような関数を定義できます。引数または返り値に関数を含む関数を高階関数と言います。ここで、$f^{(n)}(x)$は$f(x)$のn次導関数とします。$f(x)=\sin(x)$とすると、$f^{(n)}(0)$は次のように表すことが出来ます。

f^{(n)}(0) = \left\{
\begin{array}{ll}
0 & (n \equiv 0 \pmod 4) \\
1 & (n \equiv 1 \pmod 4) \\
0 & (n \equiv 2 \pmod 4) \\
-1 & (n \equiv 3 \pmod 4) \\
\end{array}
\right.

$f(x)=\cos(x)$のときも同様に定義できます。

f^{(n)}(0) = \left\{
\begin{array}{ll}
1 & (n \equiv 0 \pmod 4) \\
0 & (n \equiv 1 \pmod 4) \\
-1 & (n \equiv 2 \pmod 4) \\
0 & (n \equiv 3 \pmod 4) \\
\end{array}
\right.

これをコードにします。

trigonometric_function.py

# -*- coding:utf-8 -*-

def fact(x):
    if x == 0: return 1
    else: return x * fact(x-1)

# マクローリン展開
def maclaurin(f):
    def g(x):
        ans = 0.0
        for k in range(30):
            ans += f(k) * (x**k) / fact(k)
        return ans
    return g

# sin(x)のn次導関数
def diff_sin(n):
    return (0, 1, 0, -1)[n % 4]

# cos(x)のn次導関数
def diff_cos(n):
    return (1, 0, -1, 0)[n % 4]

sin = maclaurin(diff_sin)
cos = maclaurin(diff_cos)

if __name__ == "__main__":
    import math
    print("---sin---")
    print("自作", sin(0.1))
    print("math", math.sin(0.1))
    print("差分", abs(sin(0.1) - math.sin(0.1)))

    print("---cos---")
    print("自作", cos(0.1))
    print("math", math.cos(0.1))
    print("差分", abs(cos(0.1) - math.cos(0.1)))

"""
$ python3 trigonometric_function.py 
---sin---
自作 0.09983341664682817
math 0.09983341664682815
差分 1.3877787807814457e-17
---cos---
自作 0.9950041652780258
math 0.9950041652780258
差分 0.0
"""

このmaclaurin関数を用いれば、n次導関数が分かっている関数を定義できます。例えば、$f(x)=e^x$のとき、任意のnについて$f^{(n)}(0)=1$なので

f = maclaurin(lambda _: 1)
print(f(1)) # 2.7182818284590455

と定義できます。

参考文献・サイト

マクローリン展開｜高校数学の美しい物語