gcd(x,y)=1 の図を作る

まず、試しに以下の方法

gifビットマップ用512x512

from math import gcd  # python 3.5 以上

width = 512
bitmap = [int(gcd(x, y) == 1)
          for y in range(1, 1 + width)
          for x in range(1, 1 + width)]

で得た情報から画像を作ります（白は $gcd(x,y)\ne 1$、青は $gcd(x,y)=1$ のドット）

$x$ 方向は右で、$y$ 方向は下、画像の座標は左上が $(1, 1)$ です。また、$gcd(x,y)=gcd(y,x)$ で対称です。

左下方向から右上方向への途切れない斜め線を探す

上の図で、$n=x+y$ としたとき、$gcd(x,y)=1$ しかないものを探して赤ドットに変更すると

となりました。$n$ を探すプログラム

検索

from math import gcd  # Python 3.5 以上

width = 512

m = ''
for x in range(1, 1 + width * 2):
    u = x
    v = 1
    while u >= v:
        if gcd(u, v) != 1:
            break
        u -= 1
        v += 1
    if u >= v:
        continue
    m += f'{x+1},'
    if len(m) >= 72:
        print(m)
        m = ''
if m:
    print(m)

実行結果

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,
103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,
197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,
307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,373,379,383,389,397,401,409,
419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,491,499,503,509,521,
523,541,547,557,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,631,641,
643,647,653,659,661,673,677,683,691,701,709,719,727,733,739,743,751,757,
761,769,773,787,797,809,811,821,823,827,829,839,853,857,859,863,877,881,
883,887,907,911,919,929,937,941,947,953,967,971,977,983,991,997,1009,1013,
1019,1021,

が得られたので、これを Mathematica で

Table[Prime[n], {n, 172}] == {
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,
103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,
197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,
307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,373,379,383,389,397,401,409,
419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,491,499,503,509,521,
523,541,547,557,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,631,641,
643,647,653,659,661,673,677,683,691,701,709,719,727,733,739,743,751,757,
761,769,773,787,797,809,811,821,823,827,829,839,853,857,859,863,877,881,
883,887,907,911,919,929,937,941,947,953,967,971,977,983,991,997,1009,1013,
1019,1021
}

を実行すると True が返ってきました。

~~何でそうなるのかは分かりませんし、どの範囲まで通用するのかも分かりません。~~

$gcd(x,y)=m$ で $m\ne1$ なら

p = x + y = m (s + t) = m s + m t \\
x = m s \\
y = m t \\

の場合が存在するので、$p$ は合成数か…