線形代数のメモ
ベクトルの基本
n項の縦ベクトルの表記。
\boldsymbol{a}=
\left(
\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}
\right)
ベクトルの和
単純にベクトル同士の成分の和。
\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=
\left(
\begin{matrix}
a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\\\vdots\\a_{n}+b_{n}
\end{matrix}\right)
スカラー倍
c\boldsymbol{a}=
\left(
\begin{matrix}
ca_{1}\\ca_{2}\\\vdots\\ca_{n}
\end{matrix}\right)
ベクトルの内積
成分ごとの積の和。
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=
\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_i b_i
要素積
ベクトルの各要素を掛け合わせたもの。
\boldsymbol{a}\odot\boldsymbol{b}=
\left(
\begin{array}{c}
a_1 b_1 \\
a_2 b_2\\
\vdots \\
a_n a_n
\end{array}
\right)
行列の基本
m×n行列
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A} = \left(
\begin{array}{cccc}
a_{ 11 } & a_{ 12 } & \ldots & a_{ 1n } \\
a_{ 21 } & a_{ 22 } & \ldots & a_{ 2n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{ m1 } & a_{ m2 } & \ldots & a_{ mn }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}
次も同じ意味。
\boldsymbol{A}=\left(a_{ij}\right)
正方行列
行と列が同じ数の行列
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A} = \left(
\begin{array}{ccc}
a_{ 11 } & a_{ 12 } & \ldots & a_{ 1n } \\
a_{ 21 } & a_{ 22 } & \ldots & a_{ 2n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{ n1 } & a_{ n2 } & \ldots & a_{ nn }
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}
対角行列
対角成分以外が全て0の正方行列。
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
a_{ 11 } & & & 0 \\
& a_{ 22 } & & \\
& & \ddots & \\
0 & & & a_{ nn }
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
単位行列
対角成分が全て1の対角行列。
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
1 & & & 0 \\
& 1 & & \\
& & \ddots & \\
0 & & & 1
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
行列の和
AとBはm×n行列として
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} =
\left(a_{ij}+b_{ij}\right)=
\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \ldots & a_{1n}+b_{1n} \\
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \ldots & a_{2n}+b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \ldots & a_{mn}+b_{mn}
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}
行列のスカラー倍
\begin{eqnarray}
c\boldsymbol{A} =
\left(ca_{ij}\right)=
\left(
\begin{array}{ccc}
ca_{11} & ca_{12} & \ldots & ca_{1n} \\
ca_{21} & ca_{22} & \ldots & ca_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
ca_{n1} & ca_{n2} & \ldots & ca_{nn}
\end{array}
\right)
\end{eqnarray}