ネットワーク（グラフ）とは，以下のように**頂点（ノード）が辺（エッジ，リンク）**で結ばれたものです．
このようなネットワークにおいて中心的なノードを見つけたいことがあります．人のつながりをネットワークとして捉えるならば，中心的な人は，その文脈に依存して，友人が多い人，うわさを広めてしまう人，感染症を拡げてしまう人，他人に影響力がある人，…と解釈することができます．
ネットワークの中心的なノードを見つける時に，中心性という指標が使えます．中心性指標にもいくつかありますが，この記事では次数中心性，近接中心性の2つを説明します．媒介中心性，固有ベクトル中心性の2つについてはこちらの記事で説明しています．これまでに書いたネットワークの記事
も併せてご覧ください．
次数中心性
次数中心性は，各ノードが持つリンクの数（＝次数）です．具体的に以下のようなネットワークで次数中心性を求めてみましょう．
ノード$v_i$の次数$k_i$が$v_i$の次数中心性となります．すなわち上のネットワークでは，$k_1=4,, k_2=1,, k_3=2,, k_4=4,, k_5=3,, k_6=2$となります．
Pythonのネットワーク分析ツールであるNetworkXで上記ネットワークの各ノードの次数中心性を求めてみましょう．NetowrkXでは，次数中心性は上記$k_i$を$N-1$で割って，正規化したものが出力されます．$N$はノード数です．したがって，$k_1=\frac{4}{5}=0.8,, k_2=\frac{1}{5}=0.2,, k_3=\frac{2}{5}=0.4,, k_4=\frac{4}{5}=0.8,, k_5=\frac{3}{5}=0.6,, k_6=\frac{2}{5}=0.4$となります．具体的なコードは以下です．
コード
import networkx as nx # NetworkXをインポート
# ネットワーク生成
G = nx.Graph([(1, 2), (1,3), (1,4), (1,5), (3, 4), (4,5), (4,6),(5,6)])
nx.draw(G, with_labels=True) # ラベルをTrueにして番号の可視化
print('Degree Centrality', nx.degree_centrality(G))
print('Closeness Centrality', nx.closeness_centrality(G))
print('Betweenness Centrality', nx.betweenness_centrality(G))
print('Eigenvector Centrality', nx.eigenvector_centrality(G))
出力結果は以下のようになります．まず上記の図と同じネットワークをNetworkXで生成し，4つの中心性指標をまとめて出しています．NetworkXの組み込み関数degree_centrality()にネットワークのオブジェクトGを渡すことで各ノードの次数中心性を求めてくれます．Degree Centralityの部分を見ていただくと，Degree Centrality {1: 0.8, 2: 0.2, 3: 0.4, 4: 0.8, 5: 0.6000000000000001, 6: 0.4}となっており，$k_1=0.8,, k_2=0.2,, k_3=0.4,, k_4=0.8,, k_5=0.6,, k_6=0.4$に値がそれぞれ一致することが分かります．
結果
近接中心性
近接中心性は，あるノードから他の全てのノードへの距離（最短経路長）の平均値の逆数をとったものです．平均的な距離が小さいほど中心性の値は大きくなってほしいので，逆数をとります．式で書くと，ノード$v_i$の近接中心性は，
$$
l_i = \frac{\sum d_{ij}}{N-1}の逆数=\frac{N-1}{\sum d_{ij}}
$$
となります．具体的にまた前の例と同じネットワークで考えてみましょう．
まずノード$v_1$を始点として他の全てのノードへの距離（最短経路長）$d_{12},, d_{13},, d_{14},, d_{15},, d_{16}$を求めてみましょう．$v_1$と$v_2$，$v_1$と$v_3$，$v_1$と$v_4$，$v_1$と$v_5$は直接（リンク数は1つ）つながっているので$d_{12}=d_{13}=d_{14}=d_{15}=1$となります．$v_1$と$v_6$は間に2本のリンク（$v_4$経由でも$v_5$経由でも良い）でつながっているので，$d_{16}=2$となります．したがって，ノード$v_1$の近接中心性$l_1$は，
$$
l_1 = \frac{N-1}{\sum d_{ij}}=\frac{5}{1+1+1+1+2}\approx0.83
$$
となります．同様に求めると，$l_2=0.5,, l_3=0.625,, l_4\approx0.83,, l_5\approx0.71,, l_6\approx0.56$となります．
ではこれもNetworkXの結果を見てみましょう．コードの中に既に書いてあるcloseness_centrality(G)の部分です．NetworkXの組み込み関数closeness_centrality()にGを渡せばよいです．結果のCloseness Centrality {1: 0.8333333333333334, 2: 0.5, 3: 0.625, 4: 0.8333333333333334, 5: 0.7142857142857143, 6: 0.5555555555555556}を見ると上で計算した$l_1, \ldots, l_6$と一致することが分かります．
動画解説
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