はじめに
この記事は、Wernerモデルを使った風紋の生成 の続きです。
前回の記事では、Wernerモデルを使った風紋の生成方法を紹介しました。今回は、Wernerモデルのアルゴリズムを一部変更することで砂丘のパターンを生成します。
今回の記事で使用するコードは下記のリポジトリで公開しています。
使い方
主要なオプションのみ示します。 --help オプションで詳細を確認できます。
- 広い領域をシミュレーションしたい場合にグリッドサイズを大きくしてください
- 時間発展を長く追いたい場合にイテレーション数を大きくしてください
- 砂丘生成モードを利用するには
-dオプションをつけてください - 環境で利用できる砂量を
-qオプションで指定してください
$ python simulate.py -h
usage: simulate.py [-h] [-w V] [-g N] [-i N] [-d] [-q Q] [-s N]
options:
-g N, --grid_size N grid size (default: 100)
-i N, --num_iter N number of iterations (default: 500)
-d, --dune apply settings for dune generation
-q Q, --quantity Q sand quantity. valid on dune generation (default: 1.0)
使用例
デフォルトで実行すると、砂量 1.0 で計算します。風はx方向（左から右）に吹いています。
python simulate.py -d -g 140
ランダムな高さの表面から三日月形のバルカン砂丘が生成され、風下に向かって流れていきます。クリックすると動画が開きます。
砂量を増やすとどうなるでしょうか。砂量 3.0 で計算してみます。
python simulate.py -d -q 3.0 -g 140
一列に並んだ尾根が形成され、隣り合う尾根と繋がったり離れたりしながら、風下に流れていきます。環境に供給される砂量が少ないとバルカン砂丘が、多いと横断砂丘が生成される観測事実と整合しています。
動作概要
Wernerモデルを使った風紋の生成 に示したアルゴリズムと大まかなフローは同じです。周期境界条件が設定されたグリッドに対して、差分法を適用します。風紋生成と同様に、次の時間ステップのグリッドを求めるために、2種類のルールを適用します。後述するように、ルールの内容が風紋生成とは一部異なっています。
for _ in range(num_iter):
apply_jumping_rule()
apply_rolling_rule()
apply_jumping_rule() 関数は風によって砂が飛ばされる過程を模擬しています。以下の現象を考慮します。
- 勾配が大きいと砂の跳躍距離
jump_lengthが短い。勾配が小さいと砂の跳躍距離が長い - 勾配が大きいと飛砂量
sand_quantityが多い（上り坂）。勾配が小さいと飛砂量は少ない（下り坂） - 砂が無い場所（$z < 0$）から砂は飛ばない
apply_rolling_rule() 関数は、砂が崩れる過程を模擬しており、拡散方程式の拡散項に相当する処理です。高さを均一にする効果があります。風紋のパターン生成と同じルールです。
パラメータチューニング
jump_length と sand_quantity の関数形を、
z = \alpha + \beta \ \tanh \left( \gamma \ \frac{\partial z}{ \partial x} \right)
と仮定しています。$\alpha$, $\beta$, $\gamma$ はパラメータです。求める量が2つあるので、合計6個のパラメータがあります。今回は砂丘のパターンが明瞭に生成されるパラメータを見つけてハードコーディングしています。総当たりでパラメータを見つけましたが、数式を解析することでパラメータを見つけることもできると思います。
def apply_jumping_rule(self) -> None:
g = self.grid
for _ in range(int(0.2 * g.x_size * g.y_size)):
i, j = random.randint(0, g.x_size - 1), random.randint(0, g.y_size - 1)
if g[i, j] > 0.0:
jump_length = int(11.2 - 8.0 * np.tanh(8.0 * g.partial_x(i, j)))
sand_quantity = 0.5 + 0.4 * np.tanh(2.0 * g.partial_x(i, j))
g[i, j] -= sand_quantity
g[i + jump_length, j] += sand_quantity
詳細はリポジトリを参照してください。
おわりに
Wernerモデルを使った砂丘パターンの生成方法と、代表的なパラメータにおける計算結果を示しました。簡単なルールを用いて現実の砂丘によく似たパターンが生成できて面白いと思いました。