プッシュ通知の受信イベントをバックグラウンド時にハンドリングする方法を調べても、サイレントプッシュ通知の記事ばかりが上がってきて、やり方を見つけるのに苦労したので記事にしました。
結論
Notification Service Extension を使う！
UNNotificationServiceExtensionのdidReceiveにOSLogを仕込んで確認したら、アプリ未起動時など状態に関わらずプッシュ通知をハンドリングできていました。（ここに通知を受信したときにやりたいことを書けばOK）
補足
Notification Service Extension は、通知をAPNsから受信してからユーザーに見せる前にペイロードを編集したりできるapp extensionです。
実装方法についてはこちらを参考にさせていただきました🙏