はじめに
概要
Kaggleのタイタニック問題をベイズ推定で解いてみる記事です．
ソースコードは私のGitHubで公開しています．
紹介
統計学を齧っている経済学部4回生（ベイジアンの卵）です．
経緯
以前，『ベイズ統計でKaggleを解いてみる』という記事を投稿しました．
初投稿ということもあり，説明不足や改善点がいくつかみられたので，その修正版として本記事を投稿します．
対象者
- 統計学・ベイズ推定に興味がある
- ベイズ推定を学んでいる
- 実践的なベイズ推定をやってみたい
以上のような方が対象です．また，以前私が投稿したCmdStanの解説記事に目を通していることを前提とします．
実行環境
以下を参照してください．
- MacOS Sonoma 14.5
- R version 4.4.0 (2024-04-24)
- RStudio 2024.04.2+764 (2024.04.2+764)
-
{cmdstanr}0.7.1 -
{tidyverse}2.0.0 -
{posterior}1.5.0
> sessionInfo()
R version 4.4.0 (2024-04-24)
Running under: macOS Sonoma 14.5
[1] posterior_1.5.0 cmdstanr_0.7.1 lubridate_1.9.3
[4] forcats_1.0.0 stringr_1.5.1 dplyr_1.1.4
[7] purrr_1.0.2 readr_2.1.5 tidyr_1.3.1
[10] tibble_3.2.1 ggplot2_3.5.1 tidyverse_2.0.0
分析概要
タイタニック問題とは
1912年4月14日に沈没してしまったタイタニック号の乗客データを用いて，各乗客が生存したか死亡したかを予測し，その精度を競う機械学習コンペティションです1．
手順
分析の手順は以下のとおりです．
- データ可視化・理解
- データ前処理・加工
- データ生成過程の確認・モデルの作成
- データリストの作成
- Stanファイルの記述
- MCMCの実行
- 結果の確認
準備
必要なパッケージを読み込みます．
> pacman::p_load(tidyverse,
+ cmdstanr,
+ posterior)
> options(mc.cores = parallel::detectCores())
データのダウンロード・読み込み
Kaggleのタイタニック問題のページから必要なデータをダウンロードします2．
次に，分析に用いるtrain.csv, test.csvを読み込みます．
> myd_train <- read_csv('train.csv')
> myd_test <- read_csv('test.csv')
可視化や前処理をしやすくするために，2つのデータを1つにまとめます．そのために，テストデータに不足しているSurvived変数を追加し，欠損値を表すNAを代入しておきます．
> myd_test$Survived <- NA
> myd <- rbind(myd_train, myd_test)
rbind()関数は行方向にデータフレームを結合してくれる関数です．
> myd[c(890:895),]
# A tibble: 6 × 12
PassengerId Survived Pclass Name Sex Age SibSp Parch Ticket Fare Cabin Embarked
<dbl> <dbl> <dbl> <chr> <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <chr> <dbl> <chr> <chr>
1 890 1 1 Behr, Mr. Karl … male 26 0 0 111369 30 C148 C
2 891 0 3 Dooley, Mr. Pat… male 32 0 0 370376 7.75 NA Q
3 892 NA 3 Kelly, Mr. James male 34.5 0 0 330911 7.83 NA Q
4 893 NA 3 Wilkes, Mrs. Ja… fema… 47 1 0 363272 7 NA S
5 894 NA 2 Myles, Mr. Thom… male 62 0 0 240276 9.69 NA Q
6 895 NA 3 Wirz, Mr. Albert male 27 0 0 315154 8.66 NA S
Survived変数を見ると，トレーニングデータの下にテストデータが追加されていることがわかります（nrow(myd_train) = 891）．
「3. データ生成過程の確認・モデルの作成」でも言及しますが，今回の分析にはName, Ticket, Cabin, Embarkedは使わないので，それら以外の変数のみ抽出しておきます．
> myd <- myd |>
+ select(-c(Name, Ticket, Cabin, Embarked))
以上で分析の準備は完了です．
データの説明
> glimpse(myd)
Rows: 1,309
Columns: 8
$ PassengerId <dbl> 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 1...
$ Survived <dbl> 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1...
$ Pclass <dbl> 3, 1, 3, 1, 3, 3, 1, 3, 3, 2, 3, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2...
$ Sex <chr> "male", "female", "female", "female", "male", "male"...
$ Age <dbl> 22, 38, 26, 35, 35, NA, 54, 2, 27, 14, 4, 58, 20, 39...
$ SibSp <dbl> 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 3, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 4, 0...
$ Parch <dbl> 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 0, 5, 0, 0, 1, 0...
$ Fare <dbl> 7.2500, 71.2833, 7.9250, 53.1000, 8.0500, 8.4583, 51...
-
PassengerId: 乗客ID -
Survived: 生死（0が死亡，1が生存） -
Pclass: チケットのクラス（1が最も良いチケット） -
Sex: 性別 -
Age: 年齢 -
SibSp: 乗っている兄弟・姉妹の人数 -
Parch: 乗っている親または子の人数 -
Fare: 料金
1. データ可視化・理解
データがどのような特徴を持っているかを理解するために可視化します．これにより，分析にどの変数を用いたら良いか，また変数間に関係はあるのか，欠損処理はどのように行えば良いかなどを決める基準ができます3．
生死（Survived）の割合
> myd |>
+ ggplot() +
+ geom_bar(aes(x = as.factor(Survived),
+ fill = Sex)) +
+ labs(x = NULL, y = '人数') +
+ scale_fill_discrete(name = '性別',
+ labels = c('女性', '男性')) +
+ theme_minimal()
0が死亡，1が生存です．トレーニングデータの半数以上が死亡しています．性別ごとに死亡の割合を見ると，女性よりも男性の方が高いとわかります．
年齢（Age）の分布
> myd |>
+ ggplot() +
+ geom_histogram(aes(x = Age,
+ y = after_stat(density)),
+ color = 'black') +
+ labs(x = '年齢', y = '密度') +
+ theme_minimal()
0歳から80歳まで，様々な年代の方が乗っていたとわかります（欠損値は除いています）．中でも20代前半が最も多いです．また，10歳未満の子どもたちがいることから，家族連れも多く乗っていたことが予想できます．
料金（Fare）の分布
> myd |>
+ ggplot() +
+ geom_histogram(aes(x = Fare,
+ y = after_stat(density),
+ fill = as.factor(Pclass))) +
+ labs(x = '料金', y = '密度') +
+ scale_fill_discrete(name = 'クラス') +
+ theme_minimal()
ほとんどの部屋が100ドル以下であることがわかります．また（当然と言えば当然ですが）クラスによって料金が変動しています．
2. データ前処理・加工
summary()を使うと，各変数の記述統計量と欠損値の数（NA's）を確認できます。
> summary(myd)
PassengerId Survived Pclass Sex Age SibSp Parch Fare
Min. : 1 Min. :0.0000 Min. :1.000 Length:1309 Min. : 0.17 Min. :0.0000 Min. :0.000 Min. : 0.000
1st Qu.: 328 1st Qu.:0.0000 1st Qu.:2.000 Class :character 1st Qu.:21.00 1st Qu.:0.0000 1st Qu.:0.000 1st Qu.: 7.896
Median : 655 Median :0.0000 Median :3.000 Mode :character Median :28.00 Median :0.0000 Median :0.000 Median : 14.454
Mean : 655 Mean :0.3838 Mean :2.295 Mean :29.88 Mean :0.4989 Mean :0.385 Mean : 33.295
3rd Qu.: 982 3rd Qu.:1.0000 3rd Qu.:3.000 3rd Qu.:39.00 3rd Qu.:1.0000 3rd Qu.:0.000 3rd Qu.: 31.275
Max. :1309 Max. :1.0000 Max. :3.000 Max. :80.00 Max. :8.0000 Max. :9.000 Max. :512.329
NAs :418 NAs :263 NAs :1
Age, Fareに欠損値があるので処理します4．
Fareは，前節の可視化からPclassに依存していることがわかります．そして，今回Fareが欠損しているデータを見ると，Pclass = 3であることがわかります．
> myd |> filter(!is.na(Fare) == FALSE)
# A tibble: 1 × 8
PassengerId Survived Pclass Sex Age SibSp Parch Fare
<dbl> <dbl> <dbl> <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
1 1044 NA 3 male 60.5 0 0 NA
よって，この欠損はPclass = 3のFareの平均を代入することで処理したいと思います．
続いてAgeの欠損処理については，数が多いので簡単のためにAgeが欠損していない乗客の平均年齢を，全ての欠損値に代入することで処理します5．
まず平均値の計算のために，mydからNAを含むデータを除去したmyd_NAomitを作成します．その際，使う変数のみ抽出しておきます．
> myd_NAomit <- na.omit(myd) |>
+ select(Pclass, Age, Fare)
続いて，平均値を計算します．平均値を保管しておく空のベクトルを作り，そのベクトルに計算した平均値を代入します．
> empty_vec <- rep(NA, times = 2) # 空のベクトルを作成
> empty_vec[1] <- mean(myd_NAomit$Age) # Ageの平均
> empty_vec[2] <- myd_NAomit |> # Fareの平均
+ filter(Pclass == 3) |> ## Pclass = 3でフィルタリング
+ select(Fare) |> ## Fareのみを抽出
+ unlist() |> ## リストを解除
+ mean() ## 平均値の計算
これらの平均値を元のデータセットmydに代入します．
> myd <- myd |>
+ mutate(Age = ifelse(!is.na(Age), Age, empty_vec[1]),
+ Fare = ifelse(!is.na(Fare), Fare, empty_vec[2]))
以上で欠損処理は完了です．最後にmydをトレーニングデータとテストデータに分けておきましょう（Survivedが欠損しているか否かで分けます）．
> myd_train <- myd |>
+ filter(!is.na(Survived) == TRUE)
> myd_test <- myd |>
+ filter(!is.na(Survived) == FALSE)
3. データ生成過程の確認・モデルの作成
データ生成過程を確認します．
まず，結果変数のSurvivedは「生存」か「死亡」のどちらかなので，ベルヌーイ分布に従って得られると仮定します．
\begin{align}
y_i & \sim \mathrm{Bernoulli} (\theta_i) & (尤度関数)
\end{align}
続いて，ベルヌーイ分布のパラメタである$\theta$は，リンク関数を用いて以下のように表します．今回はPclass, Sex, Age, SibSp, Parch, Fareの6つの変数を用いています6．
\begin{align}
\mbox{logit} (\theta_i) & = \beta_1 + \beta_2 x_{pcl, i}
+ \beta_3 x_{sex, i} + \beta_4 x_{age, i} \\
& + \beta_5 x_{sib, i} + \beta_6 x_{par, i} + \beta_7 x_{far, i}
& (リンク関数)
\end{align}
尤度関数にベルヌーイ分布を仮定しているため，そのパラメタである$\theta$は確率（つまり$0 \le \theta \le 1$）である必要があります．しかし，リンク関数の右辺は実数全体をとり得ます．そのため，それらを$[0, 1]$内の値に変換しなければなりません．そのためにロジット関数を用いて値を変換しています．
事前分布には，どの変数にも「こうだ」という信念がないことを表すためにコーシー分布を用いています．
\begin{align}
\beta_k & \sim \mbox{Cauchy} (0, 50) \quad (k = 1, 2, ..., 7) & (事前分布)
\end{align}
以上が今回用いる統計モデルです．
4. データリストの作成
Stanに引き渡すためのデータリストを作成します．今回は変数が多いのでデザイン行列を用いることにします．デザイン行列とは，簡単にいうとデータをまとめて引き渡すための行列のことです．
\begin{align}
& \beta_1 + \beta_2 x_{pcl, i}
+ \beta_3 x_{sex, i} + \beta_4 x_{age, i} + \beta_5 x_{sib, i}
+ \beta_6 x_{par, i} + \beta_7 x_{far, i} = \mathbb{X} \cdot \mathbb{\beta}
\end{align}
以上のように，長かった線形予測子（リンク関数）が$\mathbb{X} \cdot \mathbb{\beta}$で記述できています．$\mathbb{X} \cdot \mathbb{\beta}$の中身は以下の通りです．
\mathbb{X} \cdot \mathbb{\beta} =
\begin{bmatrix}
1 & x_{pcl, 1} & x_{sex, 1}
& x_{age, 1} & x_{sib, 1} & x_{par, 1} & x_{far, 1} \\
1 & x_{pcl, 2} & x_{sex, 2}
& x_{age, 2} & x_{sib, 2} & x_{par, 2} & x_{far, 2} \\
1 & x_{pcl, 3} & x_{sex, 3}
& x_{age, 3} & x_{sib, 3} & x_{par, 3} & x_{far, 3} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots
\end{bmatrix} \cdot
\begin{bmatrix}
\beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \\ \beta_4 \\
\beta_5 \\ \beta_6 \\ \beta_7 \\
\end{bmatrix}
ここで，デザイン行列は$\mathbb{X}$を指します．データセットに切片となる変数を追加するとデザイン行列となります．
Rでデザイン行列を作成するには以下のコードを使います．
> formula_titanic <- formula(Survived ~ Pclass + Sex + Age
+ + SibSp + Parch + Fare)
> design_train <- model.matrix(formula_titanic, data = myd_train)
> head(design_train)
(Intercept) Pclass Sexmale Age SibSp Parch Fare
1 1 3 1 22.00000 1 0 7.2500
2 1 1 0 38.00000 1 0 71.2833
3 1 3 0 26.00000 0 0 7.9250
4 1 1 0 35.00000 1 0 53.1000
5 1 3 1 35.00000 0 0 8.0500
6 1 3 1 29.69912 0 0 8.4583
一番左に(Intercept)が追加され，デザイン行列を作成することができました．これはパラメタ（$\beta_k$）を推定するためのトレーニングデータを引き渡すデザイン行列です．
今回は推定だけでなく，予測まで行います．そのため，別途予測のためのデザイン行列も作成しなければなりません7．
テストデータはSurvived変数が欠損しているため，上記の方法ではデザイン行列を作ることはできません．そのため手間はありますがマニュアルで作ります．
> design_test <- myd_test[, c(-1, -2)] |> # PassengerId, Survivedを除去
+ mutate(Intercept = rep(1, times = n()), # 切片を追加
+ Sex = ifelse(Sex == 'male', 1, 0)) # Sexをダミー変数に変換
> design_test <- design_test[, c(7, 1, 2, 3, 4, 5, 6)] # 変数を並び替え．
> head(design_test)
# A tibble: 6 × 7
Intercept Pclass Sex Age SibSp Parch Fare
<dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
1 1 3 1 34.5 0 0 7.83
2 1 3 0 47 1 0 7
3 1 2 1 62 0 0 9.69
4 1 3 1 27 0 0 8.66
5 1 3 0 22 1 1 12.3
6 1 3 1 14 0 0 9.22
予測のためのデザイン行列を作成することができました．デザイン行列はdata.frame型で引き渡すことも可能です．
以上の操作を経て，ようやくデータをリストにまとめることができます．今回は，各データはもちろん，サンプルサイズとデザイン行列の列数（$K$; 切片を含む説明変数の数）もリストにまとめる必要があります．また，予測に用いるデザイン行列とそのサンプルサイズも別で引き渡します．
> myd_list <- list(
+ N = nrow(myd_train), # トレーニングデータのサンプルサイズ
+ K = 7, # デザイン行列の列数
+ Y = myd_train$Survived, # 結果変数
+ X = design_train, # デザイン行列（推定）
+ N_pred = nrow(myd_test), # テストデータのサンプルサイズ
+ X_pred = design_test # デザイン行列（予測）
+ )
5. Stanファイルの記述
Stanファイルを記述します．今回はdata{}ブロック，parameters{}ブロック， transformed parameters{}ブロック，model{}ブロックに加え，generated quantities{}ブロックを記述します．
generated quantities{}ブロックは，推定したパラメタを用いて値を生成したい時に使います．
data{}ブロック
data {
int<lower=0> N; // トレーニングデータのサンプルサイズ
int<lower=0> K; // デザイン行列の列数
array[N] int Y; // 結果変数
matrix[N, K] X; // デザイン行列（推定）
int<lower=0> N_pred; // テストデータのサンプルサイズ
matrix[N_pred, K] X_pred; // デザイン行列（予測）
}
先ほどRスクリプトファイルでリストにまとめたデータをStanでも定義します．
行列はmatrixで定義できます．[N, K]で，N行K列の行列であると指定しています．
parameters{}ブロック
parameters {
vector[K] beta;
}
今回推定したいパラメタは$\beta_k (k = 1, 2, ..., 7)$です．デザイン行列を用いているため，要素がK個のベクトルbetaとして定義しています．デザイン行列の列数K = 7が，そのまま推定したい$\beta$の数に一致します．
transformed parameters{}ブロック
transformed parameters {
vector[N] theta = inv_logit(X * beta);
}
このブロックはパラメタを変換するために記述します．今回はリンク関数にもある通り，$\mathbb{X} \cdot \mathbb{\beta}$をロジット関数で変換した値を$\theta$として採用します．そのための関数としてinv_logit()関数を用いて値を変換します8．
model{}ブロック
model {
Y ~ bernoulli(theta);
beta ~ cauchy(0, 50);
}
統計モデルの，尤度関数と事前分布にあたる部分を記述します．結果変数$Y$は，パラメタが$\theta$（theta）のベルヌーイ分布に，パラメタ$\beta_k (k = 1, 2, ..., 7)$はコーシー分布に従うと仮定しています．
generated quantities{}ブロック
generated quantities {
vector[N_pred] theta_pred;
vector[N_pred] Y_pred;
for (n in 1:N_pred) {
theta_pred[n] = inv_logit(X_pred[n,] * beta);
Y_pred[n] = bernoulli_rng(theta_pred[n]);
}
}
推定したパラメタを用いて予測をしたい場合はこのブロックを記述します．
まず変数を定義します（vector[N_pred] theta_pred;, vector[N_pred] Y_pred;）9．
theta_predに，予測のためのデザイン行列X_predと，推定されたパラメタbetaを用いて算出した値（もちろんinv_logit()で変換する）を代入し，そのtheta_predをパラメタに持つベルヌーイ分布から結果変数Y_predの値を生成しています10．
6. MCMCの実行
まず，先ほど作成したStanファイルをコンパイルします．
> stan_titanic <- cmdstan_model('titanic.stan')
$sample()関数を用いてMCMCを実行します．
> fit_titanic <- stan_titanic$sample(
+ data = myd_list, # 引き渡すデータ
+ seed = 1912-04-14, # 乱数の種
+ chains = 4, # チェイン数
+ refresh = 1000, # コンソールに表示する結果の間隔
+ iter_warmup = 1000, # バーンイン期間
+ iter_sampling = 3000 # サンプリング数
+ )
Running MCMC with 4 chains, at most 8 in parallel...
All 4 chains finished successfully.
Mean chain execution time: 4.2 seconds.
Total execution time: 4.4 seconds.
7. 結果の確認
$summary()で結果を確認できます．今回は数が多いので$summary('beta')として，betaのみを表示しています11．
> fit_titanic$summary('beta')
# A tibble: 7 × 10
variable mean median sd mad q5 q95 rhat ess_bulk ess_tail
<chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
1 beta[1] 5.00 5.00 0.539 0.543 4.10 5.88 1.00 4854. 6572.
2 beta[2] -1.09 -1.09 0.140 0.138 -1.32 -0.860 1.00 5741. 6632.
3 beta[3] -2.79 -2.79 0.203 0.205 -3.13 -2.46 1.00 7669. 7885.
4 beta[4] -0.0404 -0.0403 0.00789 0.00786 -0.0535 -0.0275 1.00 6987. 7948.
5 beta[5] -0.365 -0.360 0.111 0.111 -0.552 -0.189 1.00 8671. 7697.
6 beta[6] -0.120 -0.118 0.120 0.120 -0.321 0.0738 1.00 8597. 7793.
7 beta[7] 0.00320 0.00311 0.00244 0.00239 -0.000635 0.00733 1.00 10158. 9221.
収束の確認
推定値が収束しているかを以下の2点で確認します．
- $\hat{R}$がすべて1.1以下か
- 全てのチェインのトレースプロットが重なっているか
まず$\hat{R}$を確認します．以下のコードで確認できます（少し時間がかかります）．
> all(fit_titanic$summary()[, 'rhat'] < 1.1)
[1] TRUE
TRUEが返ってきたので$\hat{R}$は全て1.1以下であることがわかりました．
続いてトレースプロットです．可能ならすべてのトレースプロットを確認したいのですが，それは不可能なので代表してbeta[1]（つまり切片）のみ確認します．
まず推定結果をデータフレームとして得ます．
> post_titanic <- fit_titanic$draws() |>
+ as_draws_df() |>
+ mutate(chains = as.factor(.chain))
このデータフレームを用いてトレースプロットを描きます．
> post_titanic |>
+ ggplot() +
+ geom_line(aes(x = .iteration,
+ y = `beta[1]`,
+ color = chains)) +
+ labs(x = 'iteration', y = expression(beta[1])) +
+ theme_minimal()
4つのチェイン全てにおいて，推定値が約5.0周辺に集まっています．
よって，結果は収束しているということがわかりました．
結果の提出
以上の結果から，乗客の生死を予測し，そのデータをKaggleに提出しましょう．
結果から生死の予測
今回のベイズ推定では，テストデータの乗客の生死について，各チェイン3,000個の値（0か1）をベルヌーイ分布から生成しています．つまり，1人の乗客につき合計で12,000個の0か1の値を持っています12．
各乗客が持つ0か1の値のうち，1（生存）が50%以上なら生存，50%未満なら死亡と判断します13．この操作をRで行います．
テストデータの乗客の生死については結果のY_predにあります．
> fit_titanic$summary('Y_pred')
# A tibble: 418 × 10
variable mean median sd mad q5 q95 rhat ess_bulk ess_tail
<chr> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
1 Y_pred[1] 0.0843 0 0.278 0 0 1 1.00 11530. NA
2 Y_pred[2] 0.387 0 0.487 0 0 1 1.00 11882. NA
3 Y_pred[3] 0.0833 0 0.276 0 0 1 1.00 11842. NA
4 Y_pred[4] 0.104 0 0.305 0 0 1 1.00 11749. NA
5 Y_pred[5] 0.597 1 0.490 0 0 1 1.00 11745. NA
6 Y_pred[6] 0.174 0 0.379 0 0 1 1.00 12011. NA
7 Y_pred[7] 0.629 1 0.483 0 0 1 1.00 12053. NA
8 Y_pred[8] 0.192 0 0.394 0 0 1 1.00 11548. NA
9 Y_pred[9] 0.732 1 0.443 0 0 1 1.00 12085. NA
10 Y_pred[10] 0.0728 0 0.260 0 0 1 1.00 11856. NA
# ℹ 408 more rows
# ℹ Use `print(n = ...)` to see more rows
推定値は0か1なので，12,000個の推定値の平均を取ったmean列がそのまま各乗客の生存確率となります．この値をベクトルとして取り出します．
> res <- fit_titanic$summary('Y_pred')[, 'mean'] |> unlist()
そのまま取り出すとリスト型のままとなり，扱いづらいのでunlist()を用いてリストを解除しています．
resに格納されている生存確率は，テストデータの乗客に対応しているので，for文を用いて元のデータに0か1の値を代入します．
> for (n in 1:nrow(myd_test)) {
+ myd_test$Survived[n] <- ifelse(res[n] < 0.5, 0, 1)
+ }
> myd_test$Survived |> head(10)
[1] 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0
各乗客の生死予測値が代入されました．
ちなみに，各乗客の生死を可視化したものがこちらです．
性別によって生死にかなり違いが見られます．女性の方がより生き残ると予測されています．$\beta_3 = -2.79$と推定されており，男性（データが1）であることが生存確率を減少させるという結果になっています．
予測データの提出
予測はcsvファイルで提出します．PassengerId, Survivedの2つが必要です．この2つの変数を抜き出してmySubmit.csv（ファイル名はなんでも良い）としてcsvファイルを作成します．
> write_csv(myd_test |> select(PassengerId, Survived),
+ 'mySubmit.csv')
mySubmit.csvをKaggleのページから提出します．右上のSubmit Predictionから提出できます．
今回のスコアは0.75でした．つまり約75%の正答率ということです．テストデータには418人のデータがあったので，だいたい300人強の生死を予測することができました．
最後に
本記事ではベイズ推定を用いて，Kaggleのタイタニック問題を解いてみました．
正答率は75%とまずまずな結果です．改善できる箇所があるとすれば，欠損値の処理方法や分析に含める変数，また推定値から生死を判断する確率（今回は50%とした）を変更するなどでしょうか．
私の指導教員曰く，予測の精度は機械学習に勝てないとのことなので，より精度を上げたい方は機械学習を勉強するべきなのかもしれません．
ただ，本記事や過去の記事（CmdStanの解説記事）を読んで，ベイズ推定の良さや楽しさを感じて頂けたら幸いです．
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本来は機械学習を用いることを想定していますが，ベイズ統計でも予測は可能なので，腕試し的にやってみることにしました． ↩
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train.csv,test.csvを使います．ディレクトリ管理は各自にお任せします（私は作業ディレクトリにそのまま保存しました）． ↩ -
今回は簡単なデータ処理しかしません． ↩
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Survivedの欠損はテストデータです． ↩ -
賢い方法ではありませんが． ↩
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Name,Ticket,Cabin,Embarkedの4変数は結果に影響しないと判断したためです． ↩ -
トレーニングデータでベイズ推定をし，その後推定されたパラメタ$\beta_k (k = 1, 2, ...7)$とテストデータを用いて結果（生存か死亡）を予測します．そのため，テストデータもStanに引き渡す必要があります． ↩
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この変換は次のように行なっています．
$$
\mbox{logit} (\theta) = \mathbb{X} \cdot \mathbb{\beta}
\quad \Leftrightarrow \quad
\theta = \mbox{logit}^{-} (\mathbb{X} \cdot \mathbb{\beta})
$$
ここで，$\mbox{logit} (\theta) = \mathbb{X} \cdot \mathbb{\beta}$が『3. データ生成過程の確認・モデルの作成』で設定したリンク関数そのもので，$\theta = \mbox{logit}^{-} (\mathbb{X} \cdot \mathbb{\beta})$がリンク関数を$\theta$について解いたものです．Stanでは後者を用いてthetaを定義しています．そのためlogit()関数ではなくinv_logit()関数なのです． ↩ -
Rで結果を格納するための空のベクトルを作るイメージです． ↩
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bernoulli_rng()はベルヌーイ分布から乱数を生成するという関数です．他にも正規分布から乱数生成をするnormal_rng()や，ポアソン分布から乱数生成するpoisson_rng()があります． ↩ -
今回興味があるのは結果変数の予測値なので，正直$\beta_k (k = 1, 2, ..., 7)$は確認しなくても良いです． ↩
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チェインは4つあるので． ↩
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12,000回の乱数生成で何度１（つまり生存）が生成されたか．6,000回以上なら生存とします． ↩