はじめに
こんにちは、ひよこです。今日は 12 / 24、つまりクリスマスイブですね。
せっかくなので 12 と 24 についてちょっと考えてみました！
🐣 ちょっと無理やり感があるのは否めませんが、お許しを〜
1. 約数から見る 12 と 24 の特徴
素因数分解と約数関数を参照すると、12 と 24 の特徴が明確になります。
\begin{aligned}
12 &= 2^2 \cdot 3 \implies d(12) = (2 + 1)(1 + 1) = 6 \\
24 &= 2^3 \cdot 3 \implies d(24) = (3 + 1)(1 + 1) = 8
\end{aligned}
どちらも非常に多くの約数を持っています。
12 と 24 はどちらも高合成数（それより小さいどの数よりも約数が多い数）の初期列に含まれます。
ついでに 12 は最小の過剰数であり、24 も同様に過剰数です。さらに 12 は非常に珍しい sublime number （約数の個数が完全数であり、かつ約数和も完全数である数）としても知られています。
- 12 の約数個数は 6 であり、これは最初の完全数
- 12 の約数和は 28 であり、これが二番目の完全数
🐣 残念ながら 24 はここまでは到達できていません
2. 群論における多様な構造
群論において、位数 $n$ の群が同型を除いて何種類存在するかは、その数の素因数構成に強く依存します。位数 24 の群には $S_4$（4次対称群）が含まれ、構造のバリエーションが豊かです。
- 位数 12 の群: 5 種類
- 位数 24 の群: 15 種類
12 も 24 も位数の近い他の数と比較してみると群の構造が多様なのです。
3. 2 進数表記の規則性
12 は 2 進数で $1100_2$、24 は $11000_2$ と表記されます。これらは以下の数式で表現できる共通の性質を持っています。
(2^m - 1) \cdot 2^k
2 進表記にすると「前半が 1、後半が 0」という連続したパターンが現れるのが特徴です。
- $12 = (2^2 - 1) \cdot 2^2$
- $24 = (2^2 - 1) \cdot 2^3$
$2^m - 1$ の形は、このブログでもときどき登場するメルセンヌ数ですね。
4. 日付と 24 ゲームの奇跡
数遊びの世界には、4 つの数字を四則演算と括弧でつないで 24 を作る 24 ゲームというパズルがあり、以下の式はその定番です。
(1 + 2) \cdot (2 \cdot 4) = 3 \cdot 8 = 24
ここで最初の足し算と次のかけ算を入れ替えると
(1 \cdot 2) \cdot (2 + 4) = 2 \cdot 6 = 12
になります。つまりまた 12 と 24 が現れます。
このルールで月日の数字を計算しても元の月日の数字が再び現れるという条件を満たす日は実は 12/15 と 12/24 の 2 日間しかありません。まさに今日という日は、数学的にも特別な日なのです。
🐣 ちなみに 12/15 はエスペラント語の考案者であるザメンホフ氏の誕生日らしいです
5. 幾何学的な接触数
幾何学における球の接触数（kissing number）でも、この 2 つの数字はペアのように登場します。接触数とは同じ半径の球を、中心の 1 個の球に互いに重ならないように接触させられる最大個数のことです。
- 3 次元空間での接触数: 12
- 4 次元空間での接触数: 24
4 次元の 24 は、正 24 胞体（24-cell）という非常に美しい多胞体とも密接に関係しています。
🐣 ある意味接触数の英語表記が一番クリスマスイブっぽかったり…
6. 深層学習モデルへの採用例
最後に AI 関連の小ネタを紹介します。代表的なモデルである BERT のパラメータ設定を見ると、これらの数字がよく登場します。
- BERT-base: 12 層・12 ヘッドで構成
- BERT-large: 24 層で構成
モデル設計において、12 は計算リソースと表現力のバランスが取りやすい深さであり、その倍数である 24 もベースラインとして頻繁に採用される数字です。
おわりに
12 と 24 は、約数の性質から群論、幾何学、そして最新の AI モデルの設計に至るまで、分野を横断して現れる魅力的な数です。クリスマスイブに 12 と 24 という数字を眺めながら、その背後にある数学的な美しさを感じていただければ幸いです。
ではまた次の記事でお会いしましょう。