クロージャがスコープから抜けても存在し続けるときに @escaping が必要になります。
具体的には以下のような場合です。

クロージャがスコープ外で強参照されるとき
クロージャを非同期的に実行するとき

よってクロージャをすぐに実行し、どこからも強参照されない場合は @escaping は必要ありません。

import UIKit

class ViewController: UIViewController {
    
    var myCallback: () -> () = {() in }
    
    override func viewDidLoad() {
        super.viewDidLoad()
        
        self.first(callback: { () -> Void in
            // second(callback2:)内で呼び出される
            print("5")
        })
        
        print("3")
        
        // second(callback2:)で渡したCallback用Clousureが実行される
        myCallback()
    }
    
    // 1. viewDidLoadから実行される
    func first(callback: @escaping () -> ()) {
        print("1")
        
        self.second(callback2: { () -> Void in
            // ViewControllerのmyCallback()が実行される
            print("4")
            
            // first(callback:)の引数から受け取った
            // Callback用Clousureを実行
            callback()
        })
    }
    
    // 2. first(callback:)から実行される
    func second(callback2: @escaping () -> ()) {
        print("2")
        
        // グローバル変数にcallback用Clousureを格納
        // (実行するわけではない）
        self.myCallback = callback2
    }
}

　実行結果

参考

Swift 3 の @escaping とは何か - Qiita