結論
Heroku Connectは、31日間、salesforce側から新しいデータが同期されないと停止する！
PAUSEDの状態なら再開を押せばすぐ戻すことができるが、
SYSTEM_ON_ICEDの状態だと、Heroku Supportに連絡する必要がある。
下記リンク参照。（英語ですが、google翻訳で大丈夫かと）
https://help.heroku.com/7W6OYCD7/why-is-my-connect-instance-paused-inactive-or-iced
始まり
クライアントから「セールスフォース側でデータを変更したのですが、
アプリに反映されていないみたいです。」とのこと。
あれ？、、なぜだ？？
心当たりは全くない。
調べてみる
アドオン一覧の画面から、Heroku Connectを選択して、Heroku Connectの画面を開く。
すると、CONNECTION STATUSのところにPAUSEDの文字が。。。（赤枠）
止まってたので、同期されなかった、ということか。。
ただこのタイミングでは、なぜ止まったのかの原因はわからず。
ひとまず対処
pausedだったので、対処は簡単。
resumeを押すだけでした。（左下赤枠）
戻った戻った。Salesforce側のレコードの数と、DB側のレコードの数が揃った。
数時間後には、Activityもちゃんと表示されてきた。
（レコードの数自体は色々上下してます）
Google先生
なぜpauseになったのか？
英語で検索にかけると、先ほどのリンクの記事がヒットしました。
なるほどと。
３１日間何もないと止まるのは、初めて知りました。。
それにしても本当に31日間もsalesforce側で、
新しいデータが追加されなかったのか？
少し疑問が残るところ。。
導入しようとしている企業様だったので、
たまたま期間が空いたのかな？
まとめ
heroku connect の画面をひらけば、
動いてないことは一目瞭然ではあったので、
対処はしやすかったです。おわり。