で電気伝導度の計算方法について一般論をご紹介しました。ここではその具体的な計算として電場に線形な１次の項を計算します。この項はいわゆる久保公式と呼ばれているものです。

表式

一次項は次のようなダイヤグラムで表されます。

第１項の計算

一つ目の項$(A)$は

であり、この項は

の内線の両端をくっつけた図です。この接着によって$a=b$、$\omega_3=\omega_4=\omega'$とすることができて、$\otimes$ノードがあるのでここで$-i\omega$を掛けます。また電場で２回汎関数微分するとき、$E(\omega),E(\omega_1)$で、どちらのソースの外場を微分するか(出力部の選び方)の自由度２がある。

(A) = -2i\omega \frac{i^2}{2\omega\omega_1} \frac{1}{\beta} \sum_{i\omega_l} \sum_{a,b} \int d\mathbf{k} h^{\alpha\beta}_{ab}(\mathbf{k})\delta_{a,a} G_a(i\omega_l,\mathbf{k}) \\
= \frac{i}{\omega_1}\sum_{a}\int d\mathbf{k} \frac{1}{\beta} \sum_{i\omega_l} h^{\alpha\beta}_{aa}(\mathbf{k}) G_a(i\omega_l,\mathbf{k}) \\
= \frac{i}{\omega_1}\sum_{a}\int d\mathbf{k} h^{\alpha\beta}_{aa}(\mathbf{k}) \frac{1}{\beta} \sum_{i\omega_l} G_a(i\omega_l,\mathbf{k}) \\
= \frac{i}{\omega_1}\sum_{a}\int d\mathbf{k} h^{\alpha\beta}_{aa}(\mathbf{k}) I^{(1)}_a(\mathbf{k})

また、ノードでのエネルギー保存より、

\omega + \omega' = \omega' + \omega_1 \Rightarrow \omega = \omega_1

が成り立ちます。

よって、

(A) = \frac{i}{\omega}\sum_{a}\int d\mathbf{k} h^{\alpha\beta}_{aa}(\mathbf{k})  f(E_a(\mathbf{k}))

第２項

もう一方の項$(B)$は

であり、

を２個くっつけた形になっています。

また、２点のノードは異なるので、電場で微分する際の自由度はありません。

式にすると、

(B) = -i\omega \frac{i^2}{\omega\omega_1}\int d\omega' \int d\mathbf{k} \sum_{a,b} h^\alpha_{ab}(\mathbf{k})G_b(\omega+\omega',\mathbf{k})h^\mu_{ba}(\mathbf{k})G_a(\omega',\mathbf{k}) \\
=  \frac{i}{\omega_1} \int d\mathbf{k} \sum_{a,b} h^\alpha_{ab}(\mathbf{k})h^\mu_{ba}(\mathbf{k}) \int d\omega' G_b(\omega+\omega',\mathbf{k})G_a(\omega',\mathbf{k}) \\
=  \frac{i}{\omega_1} \int d\mathbf{k} \sum_{a,b} h^\alpha_{ab}(\mathbf{k})h^\mu_{ba}(\mathbf{k}) I^{(2)}_{ab}(\omega;\mathbf{k}) \\
=  \frac{i}{\omega_1} \int d\mathbf{k} \sum_{a,b} h^\alpha_{ab}(\mathbf{k})h^\mu_{ba}(\mathbf{k}) \frac{ f(E_a(\mathbf{k})) - f(E_b(\mathbf{k})) }{\omega+i\delta+E_a(\mathbf{k})-E_b(\mathbf{k})}

また、$\otimes$ノードでのエネルギー保存より

\omega'+\omega_1 = \omega + \omega_1 \Rightarrow \omega_1 = \omega

全体

よって

\sigma^{\mu\alpha}(\omega,\omega_1) = \sigma^{\mu\alpha}(\omega) \\
= \frac{i}{\omega}\sum_{a}\int d\mathbf{k} h^{\alpha\beta}_{aa}(\mathbf{k})  f(E_a(\mathbf{k})) + \frac{i}{\omega} \int d\mathbf{k} \sum_{a,b} h^\alpha_{ab}(\mathbf{k})h^\mu_{ba}(\mathbf{k}) \frac{ f(E_a(\mathbf{k})) - f(E_b(\mathbf{k})) }{\omega+i\delta+E_a(\mathbf{k})-E_b(\mathbf{k})}

となります。

久保公式の導出

今、添え字$a,b,c$はバンドの番号を表しているので、実空間ではなくエネルギー状態空間で考えています。よって

h^\mu = U^\dagger (D^\mu H_0)U = \nabla_{k_\mu} \mathcal{E} -i[\mathcal{A}^\mu,\mathcal{E}]

です。$\mathcal{E}$は固有エネルギーを対角成分に並べた行列、$\mathcal{A}$はベリー接続です。詳しくは次の記事を参考にしてください。

このとき

h^{\mu\alpha} = \nabla_{k_\alpha} h^\mu -i[\mathcal{A}^\alpha,h^\mu]

$a\neq b$ならば、

h^\mu_{ab} =  -i[\mathcal{A}^\mu,\mathcal{E}]_{ab} = -i(E_b - E_a)\mathcal{A}^\mu_{ab}

であり、一方で、$\mathcal{A}$は反エルミートだから対角項がなくて

- i\sum_a [\mathcal{A}^\alpha,h^\mu]_{aa}f(E_a) = - i\sum_a f(E_a)(\mathcal{A}^\alpha_{ab} h^\mu_{ba} - h^\mu_{ab} \mathcal{A}^\alpha_{ba} )\\
= i\sum_{a\neq b} f(E_a) \left[ -\frac{(E_b-E_a) \mathcal{A}^\alpha_{ab} }{E_b-E_a} h^\mu_{ba} + h^\mu_{ab}\frac{(E_a-E_b)\mathcal{A}^\alpha_{ba}}{E_a-E_b} \right] \\
= i\sum_{a \neq  b} f(E_a) \left[ -i \frac{ h^\alpha_{ab} h^\mu_{ba} }{E_b-E_a} + i \frac{ h^\mu_{ab} h^\alpha_{ba} }{E_a-E_b} \right] \\
= i\sum_{a\neq  b}  \left[ -i f(E_a)\frac{ h^\alpha_{ab} h^\mu_{ba} }{E_b-E_a} + i f(E_b)\frac{  h^\alpha_{ab}h^\mu_{ba} }{E_b-E_a} \right] \\
= - \sum_{a\neq  b} h^\alpha_{ab} h^\mu_{ba} \frac{ f(E_b) - f(E_a) }{E_b-E_a} \\
= - \sum_{a\neq  b} h^\alpha_{ab} h^\mu_{ba} I^{(2)}_{ab}(0;\mathbf{k})

です。

したがって

\sum_{a} h^{\alpha\beta}_{aa}  f_a = \sum_{a} \nabla_{k_\alpha} h^\mu_{aa} - \sum_{a\neq  b} h^\alpha_{ab} h^\mu_{ba} I^{(2)}_{ab}(0;\mathbf{k})

となるので、

\sigma^{\mu\alpha}(\omega) \\
= \frac{i}{\omega} \left[ \sum_{a}\int d\mathbf{k} \nabla_{k_\alpha} h^\mu_{aa} + \int d\mathbf{k} \sum_{a\neq b} h^\alpha_{ab} h^\mu_{ba} \left\{ I^{(2)}_{ab}(\omega,\mathbf{k}) -  I^{(2)}_{ab}(0;\mathbf{k}) \right\} \right] \\
\xrightarrow{\omega \rightarrow +0} \left[ \frac{i}{\omega}  \sum_{a}\int d\mathbf{k} \nabla_{k_\alpha} h^\mu_{aa} \right]_{\omega \rightarrow +0} + i \int d\mathbf{k} \sum_{a\neq b} h^\alpha_{ab}(\mathbf{k})h^\mu_{ba}(\mathbf{k}) \frac{d I^{(2)}_{ab}}{d\omega} (0;\mathbf{k})

となります。ここで、

 \frac{d I^{(2)}_{ab}}{d\omega} (0;\mathbf{k}) = - \frac{ f_a - f_b }{(E_a-E_b)(E_a-E_b + i \delta)}

です。
最初の項はドルーデの重みと言われています。また、第２項は久保公式と呼ばれていて、普通はこの項だけを考えます。
今回は電場$\mathbf{E}$に空間的な変調がないので、以下の記事で紹介したものと$\mathbf{q}=0$の場合で答えが一致しています。

参考文献

https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.99.045121