２次項のダイヤグラム

第１項

出力部$\omega$の選び方が3通りあることに注意すると

(A) = -3i\omega\frac{i^3}{6\omega\omega_1\omega_2} \sum_a \int d\mathbf{k} \int d\omega' h^{\mu\alpha\beta}_{aa}(\mathbf{k}) G_a(\omega',\mathbf{k})) \\
= -\frac{1}{2\omega_1\omega_2} \sum_a \int d\mathbf{k} h^{\mu\alpha\beta}_{aa}(\mathbf{k}) f(E_a(\mathbf{k}))

第２項

出力部の選び方が２通りあるので

(B) = -2i\omega \frac{i^3}{2\omega\omega_1\omega_2} \sum_{a,b} \int d\mathbf{k} h^\alpha_{ab}(\mathbf{k}) h^{\mu\beta}_{ba}(\mathbf{k}) \int d\omega' G_a(\omega',\mathbf{k})G_b(\omega'+\omega_1,\mathbf{k}) \\
= - \frac{1}{\omega_1\omega_2}  \sum_{a,b} \int d\mathbf{k} h^\alpha_{ab}(\mathbf{k}) h^{\mu\beta}_{ba}(\mathbf{k}) \int d\omega' G_a(\omega',\mathbf{k})G_b(\omega'+\omega_1,\mathbf{k}) \\
= - \frac{1}{\omega_1\omega_2}  \sum_{a,b} \int d\mathbf{k} h^\alpha_{ab}(\mathbf{k}) h^{\mu\beta}_{ba}(\mathbf{k}) \frac{ f(E_a(\mathbf{k})) - f(E_b(\mathbf{k}))}{ E_a(\mathbf{k}) - E_b(\mathbf{k}) + \omega_1 + i\delta}

第３項

$\omega_{12} = \omega_1 + \omega_2$として

出力部は１か所に決まっているので

(C) = -i\omega \frac{i^3}{2\omega\omega_1\omega_2} \sum_{a,b} \int d\mathbf{k} h^{\beta\alpha}_{ab}(\mathbf{k}) h^\mu_{ba}(\mathbf{k}) \int d\omega' G_a(\omega',\mathbf{k})G_b(\omega'+\omega_{12},\mathbf{k}) \\
= -\frac{1}{2\omega_1\omega_2} \sum_{a,b} \int d\mathbf{k} h^{\beta\alpha}_{ab}(\mathbf{k}) h^\mu_{ba}(\mathbf{k}) \frac{ f(E_a(\mathbf{k})) - f(E_b(\mathbf{k}))}{ E_a(\mathbf{k}) - E_b(\mathbf{k}) + \omega_1 +\omega_2 + i\delta}

第４項

これも出力部は１か所に決まっている。

(D) = -i\omega \frac{i^3}{\omega\omega_1\omega_2} \sum_{a,b,c} \int d\mathbf{k} h^\mu_{ca}(\mathbf{k})h^\alpha_{ab}(\mathbf{k})h^\beta_{bc}(\mathbf{k}) \int d\omega' G_a(\omega',\mathbf{k})G_b(\omega'+\omega_1,\mathbf{k})G_c(\omega'+\omega_{12},\mathbf{k}) \\
= - \frac{1}{\omega_1\omega_2} \sum_{a,b,c} \int d\mathbf{k} h^\mu_{ca}(\mathbf{k})h^\alpha_{ab}(\mathbf{k})h^\beta_{bc}(\mathbf{k}) I^{(3)}_{abc}(\omega_1,\omega_2;\mathbf{k})

したがって、

(D) = - \frac{1}{\omega_1\omega_2} \sum_{a,b,c} \int d\mathbf{k} h^\mu_{ca}(\mathbf{k})h^\alpha_{ab}(\mathbf{k})h^\beta_{bc}(\mathbf{k}) \frac{ (f_c(\mathbf{k}) - f_b(\mathbf{k}) )( E_a(\mathbf{k}) - E_b(\mathbf{k}) + \omega_1 + i\delta) + (f_a(\mathbf{k}) - f_b(\mathbf{k}) )( E_b(\mathbf{k}) - E_c(\mathbf{k}) + \omega_2 + i\delta) }{ ( E_a(\mathbf{k}) - E_b(\mathbf{k})  + \omega_1 + i\delta )( E_b(\mathbf{k}) - E_c(\mathbf{k}) + \omega_2 + i\delta)( E_a(\mathbf{k}) - E_c(\mathbf{k}) + \omega_{12} + i\delta ) }

全体の式

残りの項は(A)-(D)で$\alpha,\omega_1$と$\beta,\omega_2$の添え字のペアを交換したものになります。以上の結果をまとめて書きます。

まず、以下の積分値を次のように置きます。

I^{(2)}_{ab}(\omega;\mathbf{k}) = \int d\omega' G_a(\omega',\mathbf{k})G_b(\omega'+\omega,\mathbf{k})
= \frac{ f(E_a(\mathbf{k})) - f(E_b(\mathbf{k}))}{ E_a(\mathbf{k}) - E_b(\mathbf{k}) + \omega + i\delta} \\

I^{(3)}_{abc}(\omega_1,\omega_2;\mathbf{k}) = \frac{ I^{(2)}_{ab}(\omega_1;\mathbf{k}) + I^{(2)}_{cb}(\omega_2;\mathbf{k}) }{ E_a(\mathbf{k}) - E_c(\mathbf{k}) + \omega_1 + \omega_2 + i\delta }

また、$\otimes$ノードでのエネルギー保存から(A)~(D)のそれぞれで$\omega=\omega_1+\omega_2$の制約が発生します。

これを使うと

\sigma^{\mu\alpha\beta}(\omega=\omega_1+\omega_2;\omega_1,\omega_2) = (A)+(B)+(C)+(D) + [ (\alpha,\omega_1) \leftrightarrow (\beta,\omega_2) ] \\
= -\frac{1}{\omega_1\omega_2} \int d\mathbf{k} \left[ 
\frac{1}{2}\sum_a  [ h^{\mu\alpha\beta}_{aa}(\mathbf{k}) + h^{\mu\beta\alpha}_{aa}(\mathbf{k}) ] f(E_a(\mathbf{k})) \\

+ \sum_{a,b} \left\{ h^\beta_{ab}(\mathbf{k}) h^{\mu\alpha}_{ba}(\mathbf{k}) I^{(2)}_{ab}(\omega_2;\mathbf{k}) +  h^\alpha_{ab}(\mathbf{k}) h^{\mu\beta}_{ba}(\mathbf{k}) I^{(2)}_{ab}(\omega_1;\mathbf{k}) \right\} \\

+ \frac{1}{2} \sum_{a,b} [ h^{\beta\alpha}_{ab}(\mathbf{k}) + h^{\alpha\beta}_{ab}(\mathbf{k}) ] h^\mu_{ba}(\mathbf{k}) I^{(2)}_{ab}(\omega_1+\omega_2;\mathbf{k})
+ \sum_{a,b,c} \left\{ h^\mu_{ca}(\mathbf{k})h^\alpha_{ab}(\mathbf{k})h^\beta_{bc}(\mathbf{k}) I^{(3)}_{abc}(\omega_1,\omega_2;\mathbf{k}) \\
+  h^\mu_{ca}(\mathbf{k})h^\beta_{ab}(\mathbf{k})h^\alpha_{bc}(\mathbf{k}) I^{(3)}_{abc}(\omega_2,\omega_1;\mathbf{k}) \right\} 
\right]

となります。

参考文献

https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.99.045121