行列の積

はじめに

大学に入学すると、行列の掛け算を習います。
しかし、行列の掛け算の計算は大変なことが多く、計算ミスをよくやってしまいます。

本記事では、紙に書く量は増えるものの、より間違わず行列の積が計算できる方法を紹介します。

ここで想定している行列とは

\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}

大学初年次の線形代数学で導入される行列です。

行列の掛け算のルール

行列$A$と$B$の積$A B$を計算するとき、$A$の列の数と$B$の行の数が一緒じゃないとダメ

行列の計算の定義式(教科書に書いてあるもの)

行列 $A$（サイズ：$m \times n$）と行列 $B$（サイズ：$n \times p$）の積 $C = AB$ は、$m \times p$ の行列になります。
$C$ の各要素 $c_{ij}$ は、次の式で計算されます。

$$
c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}
$$

実際にやってみましょう。

計算例

$A$ $(2×3)$と$B$ $(3×2)$の積$AB$の計算

A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{pmatrix}, \quad
B = \begin{pmatrix}
7 & 8 \\
9 & 10 \\
11 & 12
\end{pmatrix}

AB = \begin{pmatrix}
(1*7 + 2*9 + 3*11) & (1*8 + 2*10 + 3*12) \\
(4*7 + 5*9 + 6*11) & (4*8 + 5*10 + 6*12)
\end{pmatrix}

皆さんは、この計算を頭の中で正しく行うことができるでしょうか？
正直、難しいと思います。私は、試験でこの計算をミスして、成績を落としました。

提案したい手法

行列の掛け算は、頭の中ですると、とても大変です。
しかし、ちょっと見方を変えてみると、すこし楽になります。

その見方は、

行列の積を簡単な行列の積に分解する

というものです。上の例でやってみます。
Aを列ベクトルに分解してみます。

A = \left[ 
\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix},\ 
\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix},\ 
\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}
\right]

今度は、Bを行ベクトルに分解してみます。

B = \begin{bmatrix}
\begin{pmatrix} 7 & 8 \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} 9 & 10 \end{pmatrix} \\
\begin{pmatrix} 11 & 12 \end{pmatrix}
\end{bmatrix}

このとき、行列の積は以下のような方法で計算することができます。

AB = 
\begin{pmatrix}
1 \\ 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
7 & 8
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
2 \\ 5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
9 & 10
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
3 \\ 6
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
11 & 12
\end{pmatrix}

このように、行列の積は、$$ ((n,1) 型の行列) \times ((1,n)型の行列)$$
の積に分解することができます。
それぞれの行列の積は簡単にできると思います。

つまり、行列の積を、簡単な行列の積に分解して、最後に足すことで
計算を書き起こすことができます。

計算ミスを減らしたいときに便利です。

まとめ

行列の積は分解できる
難しい行列の積は、分解して、最後に足すことで比較的楽になる

参考資料

MITの講義