Lambda + APIGatewayでREST APIを構築し、いろんなエラーに遭遇しました。
確認すべき箇所をメモしておきます。

403 {"message":"Forbidden"}

→ リクエストURLは正しいでしょうか

API Gatewayはpath+ステージ名を付けたりします。
このステージ名が抜けてるとForbiddenになりますので、確認してみてください。

構成

https://{APIのID}.execute-api.{リージョン}.amazonaws.com/{ステージ名}/{リソース名}

例

https://api-id.execute-api.us-east-2.amazonaws.com/default/pets?id=4&type=dog

→ リソースポリシーが間違っていないでしょうか

リソースポリシーが真っ白だとエラーになります。
左メニューの「リソースポリシー」を確認してみてください。

例えば全部許可するなら以下のように書きます。

{
    "Version": "2012-10-17",
    "Statement": [
        {
            "Effect": "Allow",
            "Principal": "*",
            "Action": "execute-api:Invoke",
            "Resource": "arn:aws:execute-api:ap-northeast-1:000000000000:api-id/*"
        }
    ]
}

"Resource"にはarnを入れてくださいね。
設定後は必ずAPIをデプロイしましょう。

502 Bad Gateway

→ API Gatewayに問題はないかもしれません...

APIGatewayをトリガーにしてLambdaが動き、Lambdaでエラーが発生した場合、502エラーが返ってきます。
なので、APIGatewayに問題はないかもしれません。
Lambda側のCloud Watchログなどを確認して、Lambdaの問題なのかAPIGateWayの問題なのかを切り分けてみてください。

→ エンドポイントがプライベート設定なのでしょうか

左メニュー「設定」 > エンドポイントの設定　を「プライベート」にしているとVPCの設定が求められます。
「プライベート」にするなら正しいVPCが設定されているかを確認してみてくださいね。
「リージョン」ならVPCの設定は必要ありません。

→ API keyが有効になってますでしょうか

左メニュー「リソース」 > 対象リソース名のメソッド > 「メソッドリクエスト」　をクリックして、APIキーの必要性が「false」になっていることを確認してください。

もしAPI Keyを設定するなら、
左メニューの「APIキー」からAPIを作って、ヘッダーにx-api-keyの項目名で設定しましょう。
また、左メニューの「設定」で「API キーのソース」が「ヘッダー」になっていることも確認してください。
設定後は必ずAPIをデプロイしましょう。

そのほか

→ リソースのデプロイをお忘れではないでしょうか...

これまでの内容でも赤文字で記載していますが、リソースやリソースポリシーをいじったら必ずデプロイしましょう。
私はこれをやってなくて1時間溶かしました😆

参考

参考にさせていただきました。

以上