　面白いですね。

y=\log{x}

　の微分が

y'=\frac{1}{x}

　であるため、それと同じ法線を持つような陰関数$F(x,y)=0$はこの直線と直交します。$(1,\frac{1}{x})$では計算しづらいので、$(x,1)$とおきます。

　$F(x,y)=0$の$(x_0,y_0)$における法線のベクトルは

(\left.\frac{\partial F}{\partial x}\right|_{x=x_0},\left.\frac{\partial F}{\partial y}\right|_{y=y_0})

　で与えられることに留意すると、条件は

\int(x)dx+\int(1)dy = 0

　となり、これを解くと、

y = -\frac{1}{2}x^2 + C

　が得られます。両者の接線及び法線の傾き$y$の値に拠らないので、この曲線は任意は$y=\log{x}+C$に対し直交します。

　以下pythonによる図示。

#要するに

　ある陽関数$y=f(x)$に対し、また別の陽関数

g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C

　は任意の点において直交する。

　となれば、他にも色々な関数を試してみたくなるのが自然な流れです。

y = 1/x

\displaylines{
f(x) = \frac{1}{x} \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{-x^{-2}} dx + C \\
= \int x^2 dx + C \\
= \frac{1}{3}x^3 + C \\}

y = e^x

\displaylines{
f(x) = e^x \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{e^x} dx + C \\
= -\int e^{-x} dx + C \\
= e^{-x} + C}

y = sqrt(x)

\displaylines{
f(x) = \sqrt{x} \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} dx + C \\
= -2\int \sqrt{x} dx + C \\
= -\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} + C}

y = sin(x)

　ここら辺から大学学部レベルの積分になってきますが、計算過程が長くなるので途中省略させていただきます。

\displaylines{
f(x) = \sin{x} \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{\cos{x}} dx + C \\
= -\frac{1}{2}\log{\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}} + C \\}

y = tan(x)

\displaylines{
f(x) = \tan{x} \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{\frac{1}{\cos^2{x}}} dx + C \\
= -\int \cos^2{x} dx + C \\
= -\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin{x} + C \\}

y = sinh(x)

\displaylines{
f(x) = \sinh{x} \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{\cosh{x}} dx + C \\
= -2\arctan{e^{x}} + C \\}

y = cosh(x)

\displaylines{
f(x) = \cosh{x} \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{\sinh{x}} dx + C \\
= -\frac{1}{2}\log{\frac{\cosh{x}-1}{\cosh{x}+1}}+C}

y = tanh(x)

\displaylines{
f(x) = \tanh{x} \\
g(x) = -\int \frac{1}{f'(x)} dx + C \\
= -\int \frac{1}{\frac{1}{\cosh^2{x}}} dx + C \\
= -\int \cosh^2{x} dx + C \\
= -\frac{1}{2}(x+\sinh{x}\cosh{x})+C}

#ソースコード

　代表して最後のやつだけ載せます。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

x = np.linspace(-4,4,100)
y = -(1/2)*(x+np.sinh(x)*np.cosh(x))
plt.figure(figsize=(6,6))
for i in range(-10,10):
    plt.plot(x,y+i,c='black',linewidth=0.5)
y = np.tanh(x)
for i in range(-10,10):
    plt.plot(x,y+i,c='red',linewidth=0.5)
plt.xlim((-4,4))
plt.ylim((-4,4))
plt.show()

#お世話になったページ

積分　1/cosx
積分　(cosx)^2
1/cosh[x]の積分に疑問があります。
https://twitter.com/ZeniYuki0922/status/1286225107447291906
tanhの意味、グラフ、微分、積分