初稿 2021年11月06日
修正 2025年2月13日
はじめに
プログラムでlog(-1)と書くと、NaN(非数)が返されます。自分のプログラムでは、０のように扱われていたので、このことに無頓着であまり気にしていませんでした。よくよく調べると、log(-1)は実数では存在せず、虚数なら存在するということを知ったので、いろいろ試した結果のまとめです。
オイラーの公式
e^{iθ} = \cos\theta + i\sin\theta
から
e^{i\pi} = -1
となり、
両辺の対数をとって
\log(-1)=\log(e^{i\pi})=i\pi
が得られます。
負数の対数は、虚数となることが確認できます。
googleの検索ボックスに「ln(-1)」もしくは「log(-1)/log(e)」と入力すると「3.14159265 i」と答えが返ってくることからgoogleは複素数を扱えます。
※googleのlogは底が10なので、式変形して使うか、底がeのlnを使います。
多価関数
負数の対数は以下の法則があります。
\log(-1)=i\pi
\log(-2)=\log(2)+i\pi
\log(-3)=\log(3)+i\pi
正確には、
\log(-a)=\log(a)+i\pi(1+2n)
で、多価関数と呼ばれます。
arcsinθが多値を持つことと、同じです。
※リーマン面も面白い形。
log(z) 複素数の対数
プログラムで、複素数を扱うのに、pythonが便利そうなので、環境を整えます。
pythonは初めてなので、googleのcolabから使い始めましたが、すぐに限界が来たので、やめました。オフライン実行環境を探しましたが、最終的に、processing.pyに行きつきました。
複素数ライブラリcmathには、複素数の関数も用意されており、logに複素数を渡せることに気がつきました。前の疑問に立ち戻り、どんな複素数を対数に渡せば、どんな複素数になるか、という疑問を解決させます。つまり、どんな写像になっているかという疑問です。
環境
Processing.py(3063)
math, cmathライブラリ
結果
グリッド間隔は１です。
(-1-1i)〜(1+1i)の範囲の複素数が、どこに写像されるかを示した図です。
色々な範囲で試した結果、πiよりも大きくなることはなく、-πiよりも小さくなることはありませんでした。arcsinのように(-π<θ<π)で返されるのだと思います。というわけで、写像の図としては、上下にも永遠に繋がっていると言えます。
また、元の複素数の範囲を変えると、実軸方向に全体的にスライドしました。
魚の鱗のような、イメージでしょうか。ちょっとずつズレながら、全体を埋めるような。
コード
import math
import cmath
size(512, 512)
background(255)
z = 0 + 1j
# z -= 1j
print(z)
print(cmath.log(z))
translate(width / 2, height / 2)
scale(50)
strokeWeight(1 / 50.0)
# grid
stroke(200)
for x in range(-5, 6):
line(x, -height, x, height)
for y in range(-5, 6):
line(-width, y, width, y)
#######
strokeWeight(1 / 25.0)
colorMode(HSB,360,100,100)
for y in range(256):
for x in range(256):
re = map(x, 0, 256, -1, 1)
im = map(y, 0, 256, -1, 1)
if re == 0 and im == 0:
break
z = complex(re, im)
th = math.degrees(cmath.phase(z)+PI)
_z = cmath.log(z)
stroke(th, 100, 100)
point(_z.real, _z.imag)
sqrt平方根の写像
同様に、平方根についても確認しました。
√-1 = i
√i = √2/2+√2/2i
√4i = √2+√2i
√(1+i) = 1.09868411347+0.455089860562i
グリッド間隔は１です。
(-1-1i)〜(1+1i)の範囲の複素数が、どこに写像されるかを示した図です。
曲座標っぽくなる
(-4-4i)〜(4+4i)の範囲の複素数が、どこに写像されるかを示した図です。
4倍にすると、2倍になりました。
コード
import math
import cmath
size(512, 512)
background(255)
z = 0 + 1j
# z -= 1j
print(z)
print(cmath.sqrt(z))
translate(width / 2, height / 2)
scale(100)
strokeWeight(1 / 100.0)
# grid
stroke(200)
for x in range(-5, 6):
line(x, -height, x, height)
for y in range(-5, 6):
line(-width, y, width, y)
#######
strokeWeight(1 / 100.0)
colorMode(HSB,360,100,100)
for y in range(1024):
for x in range(1024):
re = map(x, 0, 1024, -1, 1)
im = map(y, 0, 1024, -1, 1)
if re == 0 and im == 0:
break
z = complex(re, im)
th = math.degrees(cmath.phase(z)+PI)
_z = cmath.sqrt(z)
stroke(th, 100, 100)
point(_z.real, _z.imag)