ガウス素数

はじめに

ガウス素数を表示するプログラムです。

（乱数で上下左右斜めに対象な画像を生成しても、似たような感じになってしまうので、絵的にはあんまり、面白くなかったです）

ガウス素数

例えば、ある複素数zを考え、絶対値(norm)の二乗が素数であるかをチェックします。

z = 2+3i　のとき　|z|^2=2^2+3^2=13

13は素数なので、zはガウス素数という考え方。

また、

z = 2-3i　のとき　|z|^2=2^2+(-3)^2=13

z = -2+3i　のとき　|z|^2=(-2)^2+3^2=13

z = -2-3i　のとき　|z|^2=(-2)^2+(-3)^2=13

なので、可視化したときに、複素平面上で上下対象、左右対称になる。
さらに、実部と虚部を入れ替え、

z = 3+2i　のとき　|z|^2=3^2+2^2=13

となるので、複素平面上で45度の軸でも対象になる。

下図の白点がガウス素数。
実軸、虚軸の上は４で割ってあまり３となる素数が対象。

\begin{multline}
. \\
\sqrt{2}=\sqrt{1^2+1^2}=1.4142135 \\
\sqrt{5}=\sqrt{1^2+2^2}=2.236068 \\
3 \\
\sqrt13=\sqrt{2^2+3^2}=3.6055512 \\
\sqrt17=\sqrt{1^2+4^2}=4.1231055 \\
\sqrt29=\sqrt{2^2+5^2}=5.3851647 \\
\sqrt37=\sqrt{1^2+6^2}=6.0827627 \\
\sqrt41=\sqrt{4^2+5^2}=6.4031243 \\
7 \\
.
\end{multline}

同心円を重ねた。
緑は半径３と７。
赤は半径が上記の数値。

環境

processing 4.2
Complex Numbersライブラリ利用

プログラム

第一象限だけ計算しています。Y軸反転なので、左上が原点(0+0i)です。
サイズはwikiの画像サイズに合わせました。

Processing

void setup() {
  size(384, 384);
  background(0);
  fill(0);

  for (int a = 0; a <= 384; a++) {
    for (int b = 0; b <= 384; b++) {
      if (a == 0 && b == 0) continue;
      if (isGaussianPrime(a, b)) {
        set(a, b, 0xFFFFFFFF);
      }
    }
  }
  //save("GaussianPrime.png");
}

boolean isGaussianPrime(int a, int b) {
  if (a == 0) {
    return isPrime(b) && b % 4 == 3;
  }
  if (b == 0) {
    return isPrime(a) && a % 4 == 3;
  }
  int norm = a * a + b * b;
  return isPrime(norm);
}

boolean isPrime(int n) {
  if (n < 2) return false;
  for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++) {
    if (n % i == 0) return false;
  }
  return true;
}

参考サイト