複素数の因数分解のパターン数

図１　約数の数

図２　約数の有無

図３　ガウス素数（緑）の上に、約数の数（赤）をオーバーラップ

はじめに

複素数の素数は？
複素数の約数は？
複素数の因数分解は？
という、考えのもと、複素数の約数のパターン数を数え上げ、数に応じて可視化しました。
吉原さんの考えをもとに考案しています。
複素数の積（因数分解）として表すことができればそれを複素数の約数と捉えよう、という方針です。

環境

Processing 4.2
Complex Numbersライブラリ利用

プログラム

ダブりがあり、2重にカウントしてます。
力任せ、計算非効率なアルゴリズムです。
第一象限のみ計算。
Y軸反転。
軸上は計算なし。

Processing

import complexnumbers.*;

void setup() {
  size(50, 50);
  background(0);
  for (int y=1; y<=width; y++) {
    for (int x=1; x<=width; x++) {
      int count=0;
      Complex target;
      if (x<=y)
        target = new Complex(x, y);  // 目標の複素数
      else
        break;

      println("整数範囲 [-"+width+", "+width+"] で、(a + bi)(c + di) = "+x+"+"+y+"i となる組み合わせ：");

      for (int a = -width; a <= width; a++) {
        if (a==0) a++;
        for (int b = -width; b <= width; b++) {
          if (b==0) b++;
          Complex z1 = new Complex(a, b);

          for (int c = -width; c <= width; c++) {
            if (c==0) c++;
            for (int d = -width; d <= width; d++) {
              if (d==0) d++;
              Complex z2 = new Complex(c, d);
              Complex product = z1.mul(z2);
              if (product.equals(target)) {
                //println("("+z1+")("+z2+")");
                count++;
              }
            }
          }
        }
      }
      set(x, y, color(count*3));
      set(y, x, color(count*3));
      println(count);
    }
  }

  println("探索完了！");
}

x+yi=(a+bi)(c+di)

となるa,b,c,dの最大値はxまたはyを超えない、という前提で計算しています。

参考サイト

複素数の約数の総和（千葉県立船橋高等学校３年，吉原和志）

自分の