チルンハウスの三次曲線

はじめに

「代数曲線」のwikiにチルンハウスの三次曲線リンクがあるが、日本語ページがないので、英語ページを参照しつつメモ。

方程式

極座標表記

r = Asec^3(\frac{\theta}{3})

媒介変数表記

t=tan(\frac{\theta}{3})として

x=A(1-3t^2)

y=At(3-t^2)

もしくは、

27Ay^2=(A-x)(8A+x)^2

交差点が原点になるように、右に8A移動した式は、それぞれ、

r=9A(sec\theta-3sec\theta tan^2\theta)

x=3A(3-t^2)

y=At(3-t^2)

x^3=9A(x^2-3y^2)

Sin Cos Tan Sec Cosec Cot

ここで、secは1/cosを指す。
1 / cos = sec
1 / sin = cosec(csc)
1 / tan = cot

エクセルで、角度（ラジアン）との関係性をグラフにした。

コード

processing

size(800, 800);
translate(400, 400);

background(255);
fill(0);
text("(1,1)", 20, -20);
text("(2,2)", 40, -40);
text("(8,8)", 160, -160);

noFill();

stroke(0);
line(-400, 0, 400, 0);
line(0, -400, 0, 400);

rect(-20, -20, 40, 40);
rect(-40, -40, 80, 80);
rect(-160, -160, 320, 320);

stroke(255, 0, 0);
beginShape();
for (float th=-2f*PI; th<2f*PI; th+=0.01) {
  float t = tan(th/3f);
  float x=1f-3f*t*t;
  float y=t*(3f-t*t);
  vertex(20*x, 20*y);
}
endShape();

右に８A移動した場合は

for (float th=-2f*PI; th<2f*PI; th+=0.01) {
  float t = tan(th/3f);
  float x=3f*(3f-t*t);
  float y=t*(3f-t*t);
  vertex(20*x, 20*y);
}

wolfram alphaを用いて
(1-x)(8+x)^2-27y^2をプロット，x=-14..2, y=-8..8

9(x^2-3y^2)-x^3をプロット，x=-6..10, y=-8..8

参考サイト