先に結論

プライベートサブネット上のクラスターはサービスアクセス用のENIを介してEMRと通信するため
NATゲートウェイを使用せずにジョブを実行できる
- ただしS3のVPCエンドポイントは必ず必要
クラスタの起動リクエスト自体はインターネットを介してEMRのエンドポイントにAPIリクエストを投げる必要がある

実行したい内容	NATGWが必要か
プライベートサブネット内からのRunJobFlow等のAPIリクエスト	必要
他のAWSサービスと通信が不要なジョブを実行	不要
VPCエンドポイントに対応していないAWSサービスと通信が必要なジョブ	必要
VPCエンドポイントに対応しているAWSサービスと通信が必要なジョブ	不要

ドキュメントやFAQによって記載がまちまち

VPC 環境で Amazon EMR クラスターを起動する方法を教えてください。
https://aws.amazon.com/jp/premiumsupport/knowledge-center/emr-launch-cluster-vpc/

Amazon EMR のプライベートサブネットを使用する場合は、NAT ゲートウェイとセキュリティグループを使用する必要があります。

ネットワークの計画と構成
https://docs.aws.amazon.com/ja_jp/emr/latest/ManagementGuide/emr-plan-vpc-subnet.html

パブリックおよびプライベート VPC サブネットの両方で EMR クラスターを起動できます。これは、EMR クラスターを実行するために、インターネット接続が必要ないことを意味します。

また、以下からはAWSのサービスエンドポイントに対する通信が発生しなければ
NATゲートウェイは不要と読み取れます。

ただし、たとえば企業イントラネット内、または AWS Key Management Service などのパブリック AWS サービスエンドポイントなど、VPC の外側にあるサービスまたはリソースにアクセスするために、サービスネットワークアドレス変換 (NAT) および VPN ゲートウェイを構成しなければならない場合があります。

以下のドキュメントからも通信が必要なAWSサービスにVPCエンドポイントが提供されていれば
NATゲートウェイが不要と読み取ることができます。

Amazon VPC オプション - プライベートサブネット
https://docs.aws.amazon.com/ja_jp/emr/latest/ManagementGuide/emr-clusters-in-a-vpc.html#emr-vpc-private-subnet

VPC エンドポイントを提供しない AWS サービスにアクセスするには、NAT インスタンスまたはインターネットゲートウェイを引き続き使用する必要があります。

実際に試してみる

クラスターの作成時、プラベートサブネットを指定すると以下のようなメッセージが出ますが、
クラスター自体の作成は可能です。

ちなみにEMRコンソール上からS3エンドポイント、NATインスタンスの作成はできるのですが、
今のところNATゲートウェイの作成には対応していないようです。

クラスターのブートストラップおよび、サンプルのHiveスクリプトの実行も問題なく完了します。

参考: ステップ 4: Hive スクリプトの実行によるサンプルデータの処理
https://docs.aws.amazon.com/ja_jp/emr/latest/ManagementGuide/emr-gs-process-sample-data.html

クラスターはどのようにEMRのサービスエンドポイントと通信するか

NATゲートウェイがない環境でもEMRはクラスターの状態やジョブの処理状況を認識しています。
サブネット上に作成されたサービス通信用のENIを介してクラスターが管理されているためです。

https://docs.aws.amazon.com/ja_jp/emr/latest/ManagementGuide/emr-clusters-in-a-vpc.html#emr-vpc-private-subnet

参考: 当時のBlog Post
【新発表】- Amazon EMRクラスタをプライベートサブネットで起動
http://aws.typepad.com/aws_japan/2015/12/new-launch-amazon-emr-clusters-in-private-subnets.html

プライベートサブネットでは、EMRサービスがクラスタと通信するために使うENIに設定するセキュリティグループを指定することもできます。

以上です。
参考になれば幸いです。