前提確認

・確率密度関数から期待値、分散を導出することを目的とする
・その他の知識に詳しくは触れない

確率密度関数

X ~ N(0,1)に従うとき、確率変数Xの確率密度関数は、

f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^2}{2})\qquad(-∞<x<∞)

である。

期待値導出

\begin{eqnarray}
E[X] &=& \int_{-∞}^{∞}xf_X(x)dx \\
&=& \int_{-∞}^{∞}x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^2}{2})dx \\
&=& 0
\end{eqnarray}

奇関数なので期待値は0

分散導出

V[X] = E[X^2] - {E[X]}^2

\begin{eqnarray}
E[X^2] &=&  \int_{-∞}^{∞}x^2f_X(x)dx \\
&=& \int_{-∞}^{∞}x^2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^2}{2})dx \\
\end{eqnarray}

偶関数なので、

\begin{eqnarray} 
E[X^2]　&=& 2\int_{0}^{∞}x^2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\frac{x^2}{2})dx \\
\end{eqnarray}

ここで、

t = x^2/2\qquad(0<t<∞)

と置換する。

\begin{eqnarray}
E[X^2] &=& \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{∞}t^{1/2}e^{-t}dt \\
\end{eqnarray}

ここで、ガンマ関数の定義、性質は、

\begin{eqnarray}
\Gamma(s)&=&\int_{0}^{\infty}t^{s-1}e^{-t}dt\qquad(s>0), \\
\Gamma(s)&=& (s-1)\Gamma(s-1) \\
 \Gamma(s)&=& (s-1)!,\\
\Gamma(1/2) &=& \sqrt{\pi}
\end{eqnarray}

であるので、

\begin{eqnarray}
E[X^2] &=& \frac{2}{\sqrt{\pi}}\Gamma(3/2) \\
&=& \frac{2}{\sqrt{\pi}}*1/2* \Gamma(1/2) \\
&=& \frac{2}{\sqrt{\pi}}*1/2* \sqrt{\pi} \\
&=& 1
\end{eqnarray}

よって、

\begin{eqnarray}
V[X] &=& E[X^2] - {E[X]}^2 \\
&=& 1-0^2 \\
&=& 1
\end{eqnarray}