結論

先に結論から。
私のマシンの原因はCMOS電池(※)切れが原因でした。
Amazonで交換用のCMOS電池を購入して、交換することで動作するようになりました。

※ CMOS電池 ... BIOSの情報を保存するための電池。5〜10年ぐらいで電池切れになり、BIOSの起動が行えなくなるらしい。

症状

サブマシンとしてUbuntu & Windowをインストールして動かしていたThinkPad X250が突然起動しなくなりました。

症状としては以下のような状態でした。

いろいろ調べたのですが、完全に同じ症状で苦しんでいる方はいらっしゃらないようでした。
※ そもそもCMOS電池が切れるまで古いPCを使う人がいないと言われたらそれまでですが...

しばらく放置した後、再度電源を入れるとBIOSが起動。
その際に、BIOSのシステム時刻が吹っ飛んでいるので再度設定しろとエラーが表示されました。
その後にBIOSの設定をしてOSの起動を行って復活した！と思ったのですがシャットダウンして起動したらまた上記症状が再発しました。

そこでCMOS電池がだめになったのかとあたりをつけたところ正解のようでした。

手順としては以下のとおりです。
プラスドライバーが一本あれば作業できました。

...といったところです。

テキストだとわかりにくい箇所は画像もつけていきましょう。

こちらは記載の通りです。
本体電源をOFFにして、給電をしないように電源ケーブルを外してください。

画像の通り、バッテリーのストッパーをそれぞれ左右に引きながら、バッテリーを上方向にスライドすることでバッテリーを外すことができます。

画像の赤枠部分のネジを外して、ケースをゆっくり剥ぎましょう。
(ツメで止まっている部分があるので、無理剥がそうとすると壊れるのでそっと取りましょう)

肝心のCMOS電池は内蔵バッテリーの下に配置されているため、まず内蔵バッテリーを取りましょう。

まず赤枠のバッテリーとマザーボードを繋ぐケーブルを下方向に引っ張って外します。

外した後はバッテリーを固定するネジを外していきます。

ネジを外してバッテリーを外すと、こんな感じにCMOS電池が見えます。
※ 交換後に撮影してしまったのですが、セロハンで固定されていました

最後にCMOS電池とマザーボードを繋ぐコネクタを外して、交換します。
(交換前のCMOS電池があった箇所に配置した後に、マザーボードにつないで適当にセロハンで止めました)

後は逆の手順で元に戻して、電源ボタンを押下するとBIOSが起動して問題なくOSの起動まで行えました。

未だにこんな古いPCを使っている人はそんなにいないかもしれませんが、同じ症状でハマっている人の助けになれば幸いです。
※ 必ずしも同じ原因とは限りませんので、修理の判断は自己責任でお願いしますmm