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機械学習と数学Advent Calendar 2017

Day 9
@haltaro

主成分分析で振り返るM-1グランプリ

Last updated at Posted at 2017-12-08

1. はじめに

M-1グランプリとは，吉本興業が主催する日本最大級の漫才コンテストです．出場資格や採点制度がシビアであること，また結果がテレビ露出に大きな影響を与えるためことが特徴で，漫才大会とは思えない異様な緊張感を持っています．

先週，M-1グランプリ2017が開催され，予選を勝ち上がった10組による決勝ファーストラウンドと，その上位3組による最終決戦が生放送されました．過去の事例を考慮すると，優勝したとろサーモンはもちろん，最終決戦に進出した和牛やミキは，今後テレビ露出が激増することが予想されます．つまり，決勝ファーストラウンドを勝ち抜けるかどうかが今後の人生を左右するとも言えます．

そこで本記事では，データで見る世界，データで見るM1グランプリ2017　〜本当に一番面白かったのはどの漫才だったのか〜1を参考に，M-1グランプリ2017の決勝ファーストラウンドを主成分分析し，最終決戦進出を分けた要因の考察に挑戦します．分析にはscikit-learnを用います．アドベントカレンダーの趣旨に則り，主成分分析の理論的背景もきちんとご紹介するつもりです．

2017.png

本記事はM-1グランプリの審査方針について意見を述べるものではなく，いかなる審査結果の不当性を訴えるものではありません．いつも面白い番組を作ってくださり，ありがとうございます！来年も楽しみです．

2. M-1グランプリ2017

本章では，先週行われたM-1グランプリ2017のシステムご紹介します．

2.1 概要

M-1グランプリ2017では，(1)予選，(2)敗者復活戦，(3)決勝ファーストラウンド，そして(4)最終決戦を行い，優勝者を決定します．決勝ファーストラウンドでは，予選および敗者復活戦を勝ち上がった出場者10組が順番にネタを行います．そして，7人の審査員が100点満点で採点し，合計点が大きい上位3組が最終決戦に進出します．

2.2 出場者

出場者は以下の10組です．出身はWikipediaを参考にしました．

  • とろサーモン（よしもとクリエイティブ・エージェンシー東京）
  • 和牛（よしもとクリエイティブ・エージェンシー大阪）
  • ミキ（よしもとクリエイティブ・エージェンシー大阪）
  • かまいたち（よしもとクリエイティブ・エージェンシー大阪）
  • スーパーマラドーナ（よしもとクリエイティブ・エージェンシー大阪）
  • ジャルジャル（よしもとクリエイティブ・エージェンシー東京）
  • さや香（よしもとクリエイティブ・エージェンシー大阪）
  • ゆにばーす（よしもとクリエイティブ・エージェンシー東京）
  • カミナリ（グレープカンパニー）
  • マヂカルラブリー（よしもとクリエイティブ・エージェンシー東京）

2.3 審査員

審査員は以下の7名です（敬称略）．出身はWikipediaを参考にしました．

2.4 採点結果

以下は採点結果です（敬称略）．各列は審査委員の採点と審査結果を示します．

出場者名 上沼 松本 大吉 小朝 礼二 渡辺 巨人 結果
とろサーモン 93 92 93 93 93 93 88 通過
和牛 95 93 94 94 93 92 92 通過
ミキ 95 94 91 92 91 94 93 通過
かまいたち 89 91 92 90 94 89 95 敗退
スーパーマラドーナ 89 90 93 91 92 91 94 敗退
ジャルジャル 90 95 91 90 89 88 93 敗退
さや香 90 90 90 90 90 91 87 敗退
ゆにばーす 90 87 92 91 90 87 89 敗退
カミナリ 90 85 91 90 89 86 87 敗退
マヂカルラブリー 83 84 88 89 88 89 86 敗退

seabornのpairplotで描画すると，下図のようになります．

pairplot.png

赤色の点は審査を通過した出場者を表し，緑色の点は敗退した出場者を表します．この図から，審査員個別の評価傾向を理解できますが，全体傾向を把握するのは難しいです．そこで主成分分析と呼ばれるテクニックを使い，情報を二次元に圧縮して可視化してみます．

3. 主成分分析

主成分分析（PCA: Principle Component Analysis）とは，次元削減，非可逆データ圧縮，特徴抽出，データの可視化などに広く適用される手法です．本章では主成分分析を用いてM-1グランプリ決勝の採点結果を可視化します．

3.1 理論

PRMLの12章では，主成分分析の導出方法が三種類述べられています．

  1. 分散最大化による導出．
  2. 誤差最小化による導出．
  3. 線形ガウスモデルを仮定した最尤法による導出（確率的主成分分析とも呼ばれます）．

1については，本アドベントカレンダーの一日目で@NoriakiOshitaさんが意味がわかる主成分分析を書いてくださいました．本記事では2についてご紹介します．3については，PRMLの12章をご参照ください．

まず，データ$\boldsymbol{x}_n$（n=1, 2, ..., N）を完全正規直交系$\boldsymbol{u}_i$（i=1, 2, ..., D）で表現することを考えます．ここで，Nはデータの数（M-1グランプリ2017では10）Dはもともとのデータの次元数（M-1グランプリ2017では7）を表します．

 \boldsymbol{x}_n = \sum_{i} \alpha_{ni} \boldsymbol{u}_i

ここで上式と$\boldsymbol{u}_j$の内積を取ると，直交性から

 \boldsymbol{x}_n^T \boldsymbol{u}_j = \sum_{i} \alpha_{ni} \boldsymbol{u}_i^T \boldsymbol{u}_j = \alpha_{nj}

を得ます．これをもとの式に代入して$\alpha$を消去すると，下式を得ます．

 \boldsymbol{x}_n = \sum_{i} (\boldsymbol{x}_n^T \boldsymbol{u}_j) \boldsymbol{u}_i

次に，$M$個の変数（$M<D$）でデータ点を近似することを考えます．つまり：

 \tilde{\boldsymbol{x}}_n = \sum_{i=1}^{M} z_{ni} \boldsymbol{u}_i +  \sum_{i=M+1}^{D} b_{i} \boldsymbol{u}_i

$z_{ni}$はデータ点毎に決まる変数ですが，$b_{i}$は全てのデータ点に共通な変数であることに注意してください．下図は，$D=2$かつ$M=1$，つまり二次元データ$\boldsymbol{x}$を直線$l$上に射影する例を表しています．

pca.png

以下では，最も近似誤差が小さくなるような$z_{ni}$，$b_{i}$および$\boldsymbol{u}_{i}$を計算します．目的関数として歪み尺度$J$を導入します．

J = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \mid \mid \boldsymbol{x}_n - \tilde{\boldsymbol{x}}_n \mid \mid^{2}

$J$を$z_{ni}$で微分して$0$と等しいおくと，下式を得ます．

z_{ni} =\boldsymbol{x}_{n}^{T} \boldsymbol{u}_{i}

上図では，データ点を直線$l$に垂直に射影するとき，$J$が最も小さくなることを意味します．同様に，$J$を$b_{i}$で微分して$0$と等しいおくと，下式を得ます．

b_{i} =\bar{\boldsymbol{x}}^{T} \boldsymbol{u}_{i}

ここで$\bar{\boldsymbol{x}}=\frac{1}{N} \sum_{n} \boldsymbol{x}_{n}$です．上図では，データ点の平均を通るよう直線$l$を引くとき，$J$が最も小さくなることを意味します．以上から，歪み尺度$J$を次のように書き直すことができます．

J = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} \sum_{i=M+1}^{D} (\boldsymbol{x}_{n}^{T} \boldsymbol{u}_{i} - \bar{\boldsymbol{x}}^{T} \boldsymbol{u}_{i})^{2} 
  = \sum_{i=M+1}^{D} \boldsymbol{u}_{i}^{T} \boldsymbol{S} \boldsymbol{u}_{i}

ここで

\boldsymbol{S}=\frac{1}{N} \sum_{n} (\boldsymbol{x}_{n} - \bar{\boldsymbol{x}}_{n} )^{T} (\boldsymbol{x}_{n} - \bar{\boldsymbol{x}}_{n} )

は写像前の空間における共分散行列を表します．つまり，歪み尺度$J$は，削減されてしまう次元（$i=M+1, ..., D$）に射影された分散の和であることがわかります．

よって，歪み尺度$J$を最小化するためには，できるだけ射影後の分散が大きくなるような軸を，削減せず残す次元（$i=1, ..., M$）として選択する必要があります．これは，共分散行列の固有ベクトルのうち，固有値が大きいものを選択することに相当します．以降はQiita，意味がわかる主成分分析をご参照ください．

3.2 実装

以下の環境で主成分分析を実施しました．

Jupyter notebookはこちらです．遊んで頂けると嬉しいです．

まず，必要なモジュールをインポートします．

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.cm as cm
from sklearn import preprocessing # 前処理用
from sklearn.decomposition import PCA # 主成分分析用

Matplotlibで日本語を表示するために，Qiita，matplotlibで日本語を描画 on Ubuntuを参考に，次のような設定を行います．Ubuntu以外をお使いの場合は，適宜ご対応ください．

from matplotlib.font_manager import FontProperties
font_path = '/usr/share/fonts/truetype/takao-gothic/TakaoPGothic.ttf'
font_prop = FontProperties(fname=font_path)
matplotlib.rcParams['font.family'] = font_prop.get_name()

以降では，data/ディレクトリの2017.csvに採点結果が格納されていると仮定します．データの読み出しから主成分分析結果のプロットまで，一括して実施する関数plot_m1(year)を定義します．4章では過去大会のデータもプロットするので，yearで開催年を指定できるようにします．

def plot_m1(year=2017):
  """
  `data/`ディレクトリにある`year`年の採点結果を読み出し，
  主成分分析結果を描画し，dataframeを返す関数です．
  - year: 分析対象とする大会の開催年．
  """

  # データの読み出し
  df = pd.read_csv("data/{}.csv".format(year))
  x = np.array(df.values)[:, 1:-1]
  t = np.array([1 if i=="通過" else 0 for i in df["結果"].values])
  x_scaled = preprocessing.scale(x) # 正規化
  x_pca = PCA(n_components=2).fit_transform(x_scaled)
  # 主成分空間に射影

  plt.figure(figsize=[10, 4])

  # 主成分空間で出場者をプロット．
  plt.subplot(1, 2, 1)
  for ii in range(len(t)):
      plt.plot(x_pca[ii, 0], x_pca[ii, 1],
               c= 'b' if t[ii] else 'r', marker='o', alpha=0.7)
      plt.annotate(
          "{}\n{}点".format(df.iloc[ii, 0][:3], sum(df.iloc[ii, 1:-1])),
          x_pca[ii]+[.1, 0])
  plt.xlim([min(x_pca[:, 0])-.5, max(x_pca[:, 0])+.8])
  plt.gca().spines['right'].set_visible(False)
  plt.gca().spines['top'].set_visible(False)

  # 主成分空間で審査員をプロット．
  plt.subplot(1, 2, 2)
  judge = df.columns[1:-1]
  comps = PCA(n_components=2).fit(x_scaled).components_
  for ii in range(len(judge)):
      plt.plot([0, comps[0, ii]], [0, comps[1, ii]],
                c=cm.Greens(np.linalg.norm(comps[:, ii])))
      plt.annotate(judge[ii], comps[:, ii])
  plt.gca().spines['right'].set_visible(False)
  plt.gca().spines['top'].set_visible(False)
  plt.xlim([-1, 1]), plt.ylim([-1, 1])

  return df

sklearn.decomposition.PCAクラスでは，引数n_componentsで主成分空間の次元数を指定できます．今回は可視化が目的なので，2を指定します．fit_transform()メソッドは，主成分空間の射影結果を返す関数です．

3.3 結果と考察

以下を実行して，採点結果を可視化します．

plot_m1()
2017.png

両図ともに，横軸は第一主成分，縦軸は第二主成分です．左図は主成分空間における各出場者の分布を表します．青点は最終決戦進出，赤点は敗退を表します．一方，右図は主成分空間における各審査員の評価傾向を表します．近くに位置する審査員同士は，似たような評価傾向を持ちます．例えば，オール巨人さんに強く支持された出場者は，左図の左上付近に分布する傾向があります．一方で小朝さんに強く支持された出場者は，左図の左下付近に分布する傾向があります．

第一主成分（横軸）に注目すると，全審査員に共通する評価傾向がある ことがわかります．左側に位置する出場者ほど，全ての審査員が面白いと判断したようです．

次に，第二主成分（縦軸）に注目すると，審査員は三つのクラスタに分類できることがわかります．

  • 左下方向を強く評価する，非吉本クラスタ（上沼さん，小朝さん，渡辺さん）
  • 左やや上方向を強く評価する，吉本プレーヤークラスタ（松本さん，礼二さん，大吉さん）
  • 左上方向を強く評価する，吉本ベテランクラスタ（巨人さん）

非吉本クラスタと吉本ベテランクラスタの評価傾向は大きく異なり，吉本プレーヤークラスタはその中間付近に位置しています．ここで注意して頂きたいのは，非吉本クラスタは3人で構成されているのに対し，吉本ベテランクラスタは1人で構成されていることです．つまり，非吉本クラスタに支持された出場者のほうが，吉本ベテランクラスタに支持された出場者よりも総合点が高くなり，最終決戦に進出しやすかったのではないかと推測できます．あくまでも結果論ですが．

より踏み込んだ議論については，データで見る世界，データで見るM1グランプリ2017　〜本当に一番面白かったのはどの漫才だったのか〜をご参照ください．

4. 過去の大会

せっかくなので，過去の大会も同様にプロットしてみます．時間が足りず考察はできませんでしたが，結果を眺めるだけでもお楽しみいただけるかと思います．なお，大会によって細かなルールが異なる場合がありますので，詳細はWikipediaをご参照ください．

第1回（2001年）

plot_m1(2001)
出場者名 紳助 松本 鴻上 石井 小朝 青島 きよし 札幌 大阪 福岡 結果
中川家 80 70 85 90 90 90 91 65 89 79 通過
ハリガネロック 75 60 85 92 70 90 95 85 85 72 通過
アメリカザリガニ 74 65 84 92 80 85 88 84 57 87 敗退
ますだおかだ 78 70 84 88 80 80 95 75 52 68 敗退
麒麟 75 75 83 90 65 75 79 54 82 63 敗退
フットボールアワー 66 55 82 82 80 80 90 62 83 46 敗退
キングコング 74 55 83 76 70 75 95 64 55 60 敗退
チュートリアル 60 50 75 68 75 75 80 38 67 49 敗退
DonDokoDon 64 65 84 82 65 85 75 47 18 29 敗退
おぎやはぎ 50 60 73 82 75 80 77 22 9 12 敗退
2001.png

第2回（2002年）

plot_m1(2002)
出場者名 紳助 松本 大竹 石井 洋七 カウス 談志 結果
ますだおかだ 89 70 92 90 96 95 80 通過
フットボールアワー 89 85 91 95 94 97 70 通過
笑い飯 86 80 80 84 84 83 70 通過
おぎやはぎ 76 80 79 79 85 82 80 敗退
ハリガネロック 75 65 83 81 86 85 70 敗退
テツandトモ 76 65 77 82 79 90 70 敗退
スピードワゴン 73 75 80 86 86 85 50 敗退
ダイノジ 83 60 78 78 81 84 70 敗退
アメリカザリガニ 73 60 78 78 83 83 70 敗退
2002.png

第3回（2003年）

plot_m1(2003)
出場者名 紳助 松本 南原 洋七 石井 大竹 カウス 結果
フットボールアワー 98 97 89 97 95 89 98 通過
笑い飯 99 95 90 95 92 90 95 通過
アンタッチャブル 92 84 85 90 92 87 86 通過
2丁拳銃 91 80 87 95 86 83 86 敗退
りあるキッズ 90 85 81 93 85 83 84 敗退
スピードワゴン 85 74 81 85 86 82 79 敗退
アメリカザリガニ 80 70 84 90 83 76 81 敗退
麒麟 84 75 76 84 78 75 82 敗退
千鳥 82 70 82 75 84 79 80 敗退
2003.png

第4回（2004年）

plot_m1(2004)
出場者名 きよし 南原 大竹 洋七 小朝 石井 カウス 結果
アンタッチャブル 97 96 95 97 95 96 97 通過
南海キャンディーズ 90 92 86 92 90 95 94 通過
麒麟 89 88 89 92 88 92 96 通過
タカアンドトシ 86 86 82 91 85 90 95 敗退
笑い飯 84 89 82 91 85 89 95 敗退
POISON GIRL BAND 87 85 83 81 88 89 90 敗退
トータルテンボス 80 84 79 84 84 88 88 敗退
東京ダイナマイト 82 80 76 83 87 86 89 敗退
千鳥 83 83 81 78 82 82 93 敗退
2004.png

第5回（2005年）

plot_m1(2005)
出場者名 紳助 松本 渡辺 大竹 洋七 石井 カウス 結果
ブラックマヨネーズ 95 95 93 90 96 94 96 通過
笑い飯 85 95 90 85 91 92 95 通過
麒麟 88 90 91 90 95 95 97 通過
品川庄司 85 90 87 89 95 91 89 敗退
チュートリアル 85 95 86 84 86 95 91 敗退
千鳥 82 80 89 88 86 89 93 敗退
タイムマシーン3号 76 75 83 82 82 85 88 敗退
アジアン 75 70 80 82 81 86 90 敗退
南海キャンディーズ 72 75 79 79 79 80 88 敗退
2005.png

第6回（2006年）

plot_m1(2006)
出場者名 紳助 松本 南原 渡辺 洋七 大竹 カウス 結果
チュートリアル 97 95 95 90 98 92 97 通過
フットボールアワー 90 90 94 90 91 89 96 通過
麒麟 88 87 91 89 92 86 94 通過
笑い飯 89 89 92 85 90 89 92 敗退
トータルテンボス 87 90 88 85 90 83 90 敗退
ライセンス 85 85 90 88 89 83 89 敗退
ザ・プラン9 83 80 89 80 90 82 93 敗退
変ホ長調 82 75 84 79 85 83 88 敗退
POISON GIRL BAND 76 85 85 75 81 83 85 敗退
2006.png

第7回（2007年）

plot_m1(2007)
出場者名 紳助 松本 上沼 石井 巨人 大竹 カウス 結果
サンドウィッチマン 98 95 95 95 92 84 92 通過
トータルテンボス 96 93 95 95 90 84 93 通過
キングコング 96 93 97 95 88 90 91 通過
ハリセンボン 86 88 93 84 86 85 86 敗退
笑い飯 85 85 89 85 83 85 92 敗退
ザブングル 86 90 92 84 79 84 82 敗退
ダイアン 86 85 89 86 81 82 84 敗退
千鳥 86 80 85 80 87 81 81 敗退
POISON GIRL BAND 75 90 81 82 84 80 85 敗退
2007.png

第8回（2008年）

plot_m1(2008)
出場者名 紳助 松本 上沼 渡辺 巨人 大竹 カウス 結果
NON STYLE 94 93 95 90 91 90 91 通過
オードリー 89 95 92 92 91 92 98 通過
ナイツ 89 93 95 91 89 89 94 通過
笑い飯 95 89 95 91 91 88 88 敗退
U字工事 91 85 93 90 84 88 92 敗退
ダイアン 89 85 90 90 86 86 93 敗退
モンスターエンジン 91 83 85 88 89 88 90 敗退
キングコング 88 86 90 89 86 87 86 敗退
ザ・パンチ 87 80 88 85 83 83 85 敗退
2008.png

第9回（2009年）

plot_m1(2009)
出場者名 紳助 松本 上沼 東国原 巨人 渡辺 カウス 結果
パンクブーブー 94 93 98 88 90 91 97 通過
笑い飯 100 95 98 92 93 92 98 通過
NON STYLE 90 92 98 89 87 90 95 通過
ナイツ 91 85 93 88 90 91 96 敗退
ハライチ 90 88 91 86 89 89 95 敗退
東京ダイナマイト 85 88 90 85 86 90 90 敗退
モンスターエンジン 89 83 90 85 87 89 87 敗退
南海キャンディーズ 85 83 90 89 84 88 88 敗退
ハリセンボン 82 80 87 87 85 85 89 敗退
2009.png

第10回（2010年）

plot_m1(2010)
出場者名 紳助 松本 南原 大竹 渡辺 宮迫 カウス 結果
笑い飯 96 96 98 97 90 95 96 通過
スリムクラブ 91 96 93 91 88 91 94 通過
パンクブーブー 97 97 94 91 95 98 96 通過
ピース 88 89 87 89 89 92 95 敗退
銀シャリ 87 90 89 89 87 93 92 敗退
ナイツ 92 88 90 90 88 91 87 敗退
ハライチ 87 86 89 90 90 90 88 敗退
ジャルジャル 86 87 88 89 87 90 79 敗退
カナリア 81 85 86 87 85 88 80 敗退
2010.png

第11回（2015年）

plot_m1(2015)
出場者名 礼二 増田 岩尾 吉田 徳井 富澤 石田 佐藤 哲夫 結果
トレンディエンジェル 94 93 89 93 88 93 92 92 91 通過
銀シャリ 91 91 92 89 95 92 87 89 92 通過
ジャルジャル 89 89 96 90 96 94 94 93 93 通過
タイムマシーン3号 93 90 90 89 88 93 94 91 88 敗退
スーパーマラドーナ 92 87 93 90 89 91 88 93 90 敗退
和牛 90 92 92 86 90 90 88 90 88 敗退
メイプル超合金 87 85 89 85 91 92 89 89 89 敗退
馬鹿よ貴方は 88 85 90 83 89 93 83 90 90 敗退
ハライチ 92 89 85 83 89 89 86 88 87 敗退
2015.png

第12回（2016年）

plot_m1(2016)
出場者名 上沼 松本 大吉 礼二 巨人 結果
銀シャリ 95 95 93 91 96 通過
和牛 95 93 91 95 95 通過
スーパーマラドーナ 93 89 92 95 90 通過
さらば青春の光 91 90 90 90 87 敗退
アキナ 89 87 89 89 92 敗退
ハライチ 93 85 89 88 91 敗退
カミナリ 81 89 90 90 91 敗退
スリムクラブ 89 90 88 89 85 敗退
相席スタート 90 84 87 88 87 敗退
2016.png

5. おわりに

M-1グランプリの決勝ファーストラウンドの採点結果を主成分分析してみました．審査員は，それぞれに嗜好を出しつつ，納得感のある採点を行っていることがわかりました．これはとても大変な仕事だと思います2．

最後まで読んでくださり，ありがとうございました！

6. 参考

  1. 審査員の分析だけでなく，Twitterでお茶の間の反応も分析した，素晴らしい記事です． ↩

  2. 少なくとも私にはできません． ↩

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