方法
photo.jpg というファイルに、Exifで回転（Orientation）の情報が書き込まれているときに、その情報だけを削除した（他のExif情報は維持した）画像ファイル photo_new.jpg を生成したい場合、以下のコマンドを使えばよい。
# 古い環境
convert photo.jpg -orient undefined photo_new.jpg
# 新しい環境
magick photo.jpg -orient undefined photo_new.jpg
なお、Exifの回転結果を画像に適用してはいない（Exifの回転情報が0度でない限りは、変換前と変換後で画像の回転方向が変わる）。適用したい場合は自前で処理する必要がある（例えば PHPでEXIFのOrientationを元に画像を回転 - Qiita のような方法が利用できるらしいです。私のほうでは試せていません）。
経緯
Exifのうち回転の情報のみ削除する方法をぐぐっていたら、最初にWindowsのエクスプローラの機能だけで行う方法を見つけたのだが、これは自分の持っていたファイルでは機能しなかった。
その後もう少し調べていると、ImageMagickでExifの回転の情報を書き換える方法1に行きついたので、ってことは回転の情報の無効化もできるのでは？って公式のドキュメントを読んでみたらできるとわかったのであった。
参考にさせていただいたページ
Image Magickのconvertコマンドでexif削除や回転情報を保持する（GitHub: webgyo氏）
-
当初は回転の情報を「追加」と書いていましたが、実際には（リンク先の記事のほうにもある通り）可能なのは回転の情報の書き換えであり、回転の情報がそもそも存在しないファイルに対してはできないとのことです。（コメントをいただいたため微修正） ↩