問題
{$X_i$}を独立なベルヌイ試行列の確率変数とします.すなわち$i$回目の試行結果が1である確率は$P[X_i=1]=p$で,0である確率は$P[X_i=0]=(1-p)$です.ここでN回の試行結果の和を$S_n=X_1+X_2+\cdots+X_N$とします.ただし$N$は平均$\lambda$のポアソン分布の確率変数です.$S_n$は平均$p\lambda$をもつポアソン分布となることを示してください.
解答例
$N$を固定して$S_N$を確率変数として,$p_k=P[S_n=k]$とすると,数列{$p_k$}の z変換は
\begin{align}
P(z|N=n)&= \sum_{k=0}^\infty p_kz^k\\
&=E[z^{S_n}] \\
&=E[z^{(X_1+X_2+\cdots+X_N)}] \\
&=E[z^Xz^Xz^X\cdots z^X] \\
&=(E[z^X])^N
\end{align}
ここで1回だけの試行のz変換は 0が確率$p_0=1-p$ , 1 が確率$p_1=p$ なので
\begin{align}
E[z^X]&=p_0z^0+p_1z^1 \\
&=(1-p)+pz \\
&=1-p(1-z)
\end{align}
これより$P(z|N=n)=(1-p(1-z))^N$となり,$N$をポアソン分布に従う確率変数として考えたときのz変換$P(z)$は$P(z|N=n)$の$N$での平均となって
\begin{align}
P(z)&=\sum_{n=0}^\infty P(N=n)P(z|N=n) \\
&=\sum_{n=0}^\infty \frac{\lambda ^ n}{n!}e^{-\lambda}(1-p(1-z))^n \\
&= e^{-\lambda}\sum_{n=0}^\infty \frac{(\lambda - p\lambda(1-z))^n }{n!} \\
&=e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda - p\lambda(1-z)} \\
&=e^{- p\lambda(1-z)}
\end{align}
ここで第3式から第4式へは テーラー展開$e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$を使いました.
最終式は$e^{-a(1-z)}$の形をしており,これは平均値aのポアソン分布のz変換でしたので,逆変換すると以下のような確率シーケンスが得られます.
$$ e^{-p\lambda}\frac{(p\lambda)^n}{n!}$$