M/M/1待ち行列を理解したい。

1. はじめに

応用情報技術者試験などの過去問で見かける「M/M/1の待ち行列モデル」。
解説を見ると下記の公式で解けるようです。

$W = \frac{\rho}{1 - \rho} \times T_s$

このギリシャ文字と分数の羅列を見た瞬間、嫌になりますが、
今回は、この待ち行列モデルを「友達の家でのスマブラ」に置き換えて、なぜこの計算式になるのかを考えてみます。

2. 待ち行列の公式を「スマブラ」に翻訳する

まずは、小難しい専門用語を一旦リセットして、スマブラの状況に翻訳してみましょう。

• $T_s$（平均サービス時間） ＝ 1試合にかかる時間
  • 例：タイム制で1試合の平均が「4分」とします。
• $\rho$（利用率） ＝ Switchの混み具合
  • 例：常に誰かが遊んでいる状態が100%（1.0）。半分くらい空いている時間が50%（0.5）です。
• $W$（平均待ち時間） ＝ コントローラーを握るまで待つ時間
  • 例：自分の番が回ってくるまでに、後ろのソファーで他の人のプレイを見ながら待つ時間です。

これを先ほどの公式に当てはめると、こういうことになります。
「待ち時間 ＝（$\frac{\text{今の混み具合}}{1 - \text{今の混み具合}}$）$\times$ 1試合の時間」

具体的な数字で計算してみよう（待ち時間のリアル）

公式の形がわかったところで、実際の数字を入れて「待ち時間のリアル」を体感してみましょう。1試合の時間は先ほどと同じ「4分（$T_s = 4$）」とします。

パターン①：ほどよく遊んでいる状態。１試合同じくらい（4分）ダラダラする時間がある状態。（利用率50%）

• $\rho = 0.5$ の場合です。
• 計算式：$W = \frac{0.5}{1 - 0.5} \times 4$
• $W = \frac{0.5}{0.5} \times 4 = 1 \times 4 = \mathbf{4}$ 分

【結果】 待ち時間は4分。つまり、目の前でやっている1試合が終わるのを待てば、すぐに自分の番が回ってきます。直感的にも非常に納得できる数字ですね。

パターン②：みんなガチ勢な状態。ほとんど休憩なしで回している状態（利用率80%）

• 「ちょっと混んできたな」という $\rho = 0.8$ の場合です。
• 計算式：$W = \frac{0.8}{1 - 0.8} \times 4$
• $W = \frac{0.8}{0.2} \times 4 = 4 \times 4 = \mathbf{16}$ 分

【結果】 なんと、待ち時間は一気に16分に跳ね上がります！1試合4分のために、他の人が戦っているのを4試合分もソファーで眺めていなければなりません。

このように、具体的な数字を入れてみると、「混み具合（利用率）が少し上がるだけで、待ち時間は一気に跳ね上がる」というのがイメージできます。

3. 「窓口を統合したら待ち時間はどうなる？」

もし、窓口を1つにまとめたら、待ち時間はどう変化するか？こちらもスマブラで例えてみます。

【統合前：別々の部屋で遊ぶ】
Aくんの部屋とBくんの部屋に、それぞれSwitchが1台ずつあります。
それぞれの部屋の混み具合（利用率）は「$\rho$」だとします。

【統合後：1つの部屋に全員集合】
ある日、Aくんの部屋のSwitchが壊れてしまいました。
仕方なく、全員Bくんの部屋（Switch1台）に集まることになりました。
1試合の時間（$Ts$）は4分のまま変わりませんが、遊びに来る人が2倍になりました。
Switchは1台のままなので、Switchの混み具合（利用率）も単純に2倍の「$2\rho$」になります。

人が2倍になったなら、Switchの混み具合（利用率）も単純に2倍の「$2\rho$」になりますよね。

【公式への代入】
ここで先ほどの「魔法の計算式」の出番です。
「待ち時間 ＝（$\frac{\text{今の混み具合}}{1 - \text{今の混み具合}}$）$\times$ 1試合の時間」

今の混み具合は「$2\rho$」になったので、そのまま当てはめるだけ！
$W = \frac{2\rho}{1 - 2\rho} \times T_s$

4. 利用率（混み具合）が上がると待ち時間は「爆発」する

さて、ここで勘違いしやすい大きな罠があります。
「人が2倍（混み具合が2倍）になれば、待ち時間も2倍になるんでしょ？」と思いがちですが、
それは間違いです。

実際に、1試合4分（$T_s = 4$）でシミュレーションしてみましょう。

• パターンA：元々ガラガラだった場合
  • 元々の利用率が20%（$\rho = 0.2$）だったとします。
  • 統合して人が2倍になっても、利用率は40%（$\rho = 0.4$）です。
  • 計算：$\frac{0.4}{1 - 0.4} \times 4$ ＝ 約2.66分（約2分40秒）
  • 結果：まだ余裕です。すぐ順番が回ってきます。
• パターンB：元々そこそこ混んでいた場合
  • 元々の利用率が45%（$\rho = 0.45$）だったとします。
  • 統合して人が2倍になると、利用率は一気に90%（$\rho = 0.9$）になります。
  • 計算：$\frac{0.9}{1 - 0.9} \times 4 = \frac{0.9}{0.1} \times 4 = 9 \times 4$ ＝ 36分
  • 結果：1試合4分遊ぶために、36分待つことになります。

このように、利用率が100%（1.0）に近づくと、待ち時間は比例（直線）ではなく加速度的に（反比例のカーブを描いて）爆発します。

5. まとめ

M/M/1の公式は、「利用率（$\rho$）＝ 忙しさのパラメータ」という構造さえイメージできれば、
「窓口が統合された」「処理速度が半分になった」と設定が変わっても、解くことができそうです。

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