概略
numbaとは，JIT(just-in-time)コンパイラを使ってPythonを動作させるモジュール,
Cythonとは，Pythonみたいに書けるけどC/C++と同様に事前コンパイルするプログラミング言語です．
とりあえず動かしてみる
以下，Jupyter Notebook上での処理になります．
Anaconda, python 3.7.3 を使用．
フィボナッチ数列のn番目を生成するコードで，python, numba, cython, 型指定つきcython, の４つで速度比較をしてみます．
まずは普通のpython
def python_fib(n):
a, b = 0., 1.
for i in range(n):
a, b = a + b, a
return a
timeitモジュールで，フィボナッチ数列の1000番目の数を計算する処理にかかる時間を計測してみます．
%timeit python_fib(1000)
10000 loops, best of 3: 33.6 µs per loop
平均して 33.6マイクロ秒かかったようです．
この場合、コマンド %timeit は以下の処理を行っています．
- python_fib(1000)を10000回実行し、総実行時間を保存．
- python_fib(1000)を10000回実行し、総実行時間を保存．
- python_fib(1000)を10000回実行し、総実行時間を保存．
- 3回実行した中で最も短い実行時間を取得し、それを10000で割った値を、10000の最短実行時間として出力。
ループ回数（ここでは10000ループ）は、%timeitの機能によって自動調整されており，測定するコードの実行速度に応じて変化します．
Numbaでコンパイルした場合
numbaはpipでインストールできます．
pip install numba
numbaの使い方は非常に簡単で，@jitデコレータをつけるだけです．
from numba import jit
@jit
def numba_fib(n):
a, b = 0.0, 1.0
for i in range(n):
a, b = a + b, a
return a
処理時間を計測します．
%timeit numba_fib(1000)
The slowest run took 77684.24 times longer than the fastest. This could mean that an intermediate result is being cached.
1000000 loops, best of 3: 1.26 µs per loop
1.26マイクロ秒！26倍もの高速化になりました．
Cython を使用した場合
jupyterでは，以下のマジックコマンドでcythonがロードできます．
%load_ext Cython
%%cython を最初に入れることで，コンパイルと最適化が行われます．
%%cython
def cython_fib(n):
a, b = 0.0, 1.0
for i in range(n):
a, b = a + b, a
return a
%timeit cython_fib(1000)
100000 loops, best of 3: 8.22 µs per loop
8.22マイクロ秒．何もしなくても４倍程度には速くなりましたね．
最後に，型指定をした後に，cythonでコンパイルした場合．
%%cython
def cython_fib2(int n):
a, b = 0., 1.
for i in range(n):
a, b = a + b, a
return a
%timeit cython_fib2(1000)
The slowest run took 7.27 times longer than the fastest. This could mean that an intermediate result is being cached.
1000000 loops, best of 3: 984 ns per loop
0.984マイクロ秒！34倍も早くなりました.
最後に
上のような簡単な処理なら，numbaやcythonで動かすことは容易ですが，複雑な処理になると対応できないケースがでてきます．
速度を求める場合には早めに別言語に切り替えたり，マルチプロセスやハードウェア選定から検討したほうがいいかもしれません．