AWS SDK for PHP の場合
例えばsqsクライアントの場合

$client = new SqsClient([
    'region'      => ***,
    'version'     => ***,
    'credentials' => [
        'key'    => ***,
        'secret' => ***
    ],
    'debug' => true, # ←コレを追加
]);

debugを true にすることで標準出力にログが出力される。
参考： https://docs.aws.amazon.com/ja_jp/sdk-for-php/v3/developer-guide/faq.html

AWS SDK for JavaScript の場合
例えばsesクライアントの場合

new AWS.SES().sendEmail(sesParams, function(err, data){
    if(error){
        console.log(this.httpResponse); // ← コレを追加
    } else {
        console.log(this.httpResponse);
    }
});

this というのは AWS.Response のことらしい。基本的にはレスポンスの情報を参照出来るらしいけど、リクエストした情報( AWS.Request )も見れる。
参考： https://docs.aws.amazon.com/sdk-for-javascript/v2/developer-guide/using-a-callback-function.html