5.5 球面波

球対称なポテンシャルの中で最も簡単な場合は$V=0$の場合である．(5.47)で$V=0$とおくと，

-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\chi_l(r)}{dr^2}
+\frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2}\chi_l(r)
=E\chi_l(r)
\tag{5.53}

もとの

R_l(r)=\frac{\chi_l(r)}{r}

を用いると，(5.45)で$V=0$，$k^2\equiv\frac{2mE}{\hbar^2}$とおいて

\frac{1}{r}\frac{d^2}{dr^2}(rR_l)
=
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}
\left(
R_l+r\frac{dR_l}{dr}
\right)
=
\frac{1}{r}
\left(
2\frac{dR_l}{dr}+r\frac{d^2R_l}{dr^2}
\right)
=
\frac{d^2R_l}{dr^2}+\frac{2}{r}\frac{dR_l}{dr}

に注意すると，

\frac{d^2R_l}{dr^2}+\frac{2}{r}\frac{dR_l}{dr}
-\frac{l(l+1)}{r^2}R_l+k^2R_l=0
\tag{5.54}

となる．ここで無次元変数

\xi=kr
\tag{5.55}

を導入すると，

\frac{d^2R_l(\xi)}{d\xi^2}
+\frac{2}{\xi}\frac{dR_l(\xi)}{d\xi}
+\left[1-\frac{l(l+1)}{\xi^2}\right]R_l(\xi)
=0
\tag{5.56}

となる．

球Bessel関数

ここからは数学の厳密な証明や説明は抜きにして結論だけを書く．
(5.56)の解は球Bessel関数として知られている（付録参照）．2つの独立な解をもつ．$\xi=0$で正則な球Bessel関数は半整数次のBessel関数となり，

j_l(\xi)
=\left(\frac{\pi}{2\xi}\right)^{\frac{1}{2}}J_{l+\frac{1}{2}}(\xi)
=(-\xi)^l\left(\frac{1}{\xi}\frac{d}{d\xi}\right)^l\left(\frac{\sin\xi}{\xi}\right)
\tag{5.57}

と表される．
$\xi=0$で正則でない解を球Neumann関数とよぶ．

n_l(\xi)=-(-1)^l\left(\frac{\pi}{2\xi}\right)^{\frac{1}{2}}J_{-l-\frac{1}{2}}(\xi)
=-(-\xi)^l\left(\frac{1}{\xi}\frac{d}{d\xi}\right)^l\left(\frac{\cos\xi}{\xi}\right)
\tag{5.58}

特に最初の2つについて$j_l$と$n_l$を計算すると，

\begin{align}
j_0(\xi)&=\frac{\sin\xi}{\xi},
\\
j_1(\xi)&=-\frac{d}{d\xi}\frac{\sin\xi}{\xi}=\frac{\sin\xi-\xi\cos\xi}{\xi^2}
\\
n_0(\xi)&=-\frac{\cos\xi}{\xi}
\\
n_1(\xi)&=\frac{d}{d\xi}\frac{\cos\xi}{\xi}=-\frac{\xi\sin\xi+\cos\xi}{\xi^2}
\end{align}
\tag{5.59}

$\xi\to\infty$で重要になる$j_l$と$n_l$の1次結合としては

\begin{align}
h_l^{(1)}(\xi)&=j_l(\xi)+in_l(\xi)
\\
h_l^{(2)}(\xi)&=j_l(\xi)-in_l(\xi)=\left[h_l^{(1)}(\xi)\right]^*
\end{align}
\tag{5.60}

で定義されるHankel関数がある．最初の2項について$h_l^{(1)}$を書くと，

\begin{align}
h_0^{(1)}&=\frac{\sin\xi}{\xi}-i\frac{\cos\xi}{\xi}
=\frac{\cos\xi+i\sin\xi}{i\xi}=\frac{e^{i\xi}}{i\xi}
\\
h_1^{(1)}&=\frac{\sin\xi-\xi\cos\xi}{\xi^2}-i\frac{\xi\sin\xi+\cos\xi}{\xi^2}
=\frac{(\xi+i)(-i\sin\xi-\cos\xi)}{\xi^2}=-\frac{e^{i\xi}(\xi+i)}{\xi^2}
\end{align}
\tag{5.61}

となる．原点近くでの振る舞いは，

$\xi\ll l$のとき，

\begin{align}
\lim_{\xi\to 0}j_l(\xi)&=\frac{\xi^l}{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2l+1)},
\\
\lim_{\xi\to 0}n_l(\xi)&=-\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2l-1)}{\xi^{l+1}}
\end{align}
\tag{5.62}

$\xi\gg l$での漸近式は，

\begin{align}
j_l(\xi)&\simeq\frac{1}{\xi}\sin\left(\xi-\frac{l\pi}{2}\right),
\\
n_l(\xi)&\simeq-\frac{1}{\xi}\cos\left(\xi-\frac{l\pi}{2}\right),
\\
h_l^{(1)}(\xi)&\simeq-\frac{i}{\xi}e^{i\left(\xi-\frac{l\pi}{2}\right)}
\end{align}
\tag{5.63}

原点で正則な解は

R_l(r)=j_l(kr)
\tag{5.64}

である．したがって極座標における自由粒子のハミルトニアンの固有関数は

j_l(kr)Y_l^m(\theta,\varphi)
\tag{5.65}

となる．

5.6 球対称な井戸型ポテンシャル―束縛状態

球対称な井戸型ポテンシャル

V(r) =
\left\{
\begin{array}{ll}
-V_0 & (r \lt a)\\
0 & (r \gt a)
\end{array}
\right.
\tag{5.66}

の中での質量$m$の粒子の束縛状態($E<0$の場合)を調べる．$r<a$での動径方程式は，(5.45)に(5.66)を代入して，

\frac{d^2R_l}{d^2}+\frac{2}{r}\frac{dR_l}{dr}-\frac{l(l+1)}{r^2}R_l
+\frac{2m}{\hbar^2}(V_0+E)R_l=0
\tag{5.67}

$r>a$では

\frac{d^2R_l}{d^2}+\frac{2}{r}\frac{dR_l}{dr}-\frac{l(l+1)}{r^2}R_l
+\frac{2mE}{\hbar^2}R_l=0
\tag{5.68}

ここで

\begin{align}
\frac{2m}{\hbar^2}(V_0+E)&\equiv k^2
\\
-\frac{2mE}{\hbar^2}&\equiv \rho^2
\end{align}
\tag{5.69}

とおくと$r<a$のとき原点で正則な解は

R_l(r)=Aj_l(kr)
\tag{5.70}

$r>a$での解は$r\to\infty$で$0$に近づかなければならない．

k=i\sqrt{-\frac{2mE}{\hbar^2}}=i\rho

とおくと，$h_l^{(1)}(i\rho r)$のみが$r\to\infty$で$e^{-\rho r}$のように$0$に近づく．したがって (5.68)の解は

R_l(r)=Bh_l^{(1)}(i\rho r)
\tag{5.71}

となる．$r=a$で$R_l$とその微分が等しいという条件を課すと，

k\frac{j'_l(ka)}{j_l(ka)}=i\rho\frac{{h_l^{(1)}}'(i\rho a)}{h_l^{(1)}(i\rho a)}
\tag{5.72}

この条件が満たされるのは$E$があるとびとびの値をとるときだけである．これで球対称な井戸型ポテンシャル (5.66)の中の粒子の束縛状態におけるエネルギー準位が求められる．