HTMLタグ要素内容は、別の場所で設定され、改行の内容も含まれます。
<body>
<p id='test'></p>
</body>
<script>
const str = '{"text":"text検証\\n test"}'
const obj = JSON.parse(str)
document.getElementById('test').innerHTML = obj.text
</script>
修正方法は簡単で、white-space
というCSSプロパティの追加です。
<body>
<p id='test' style="white-space: pre-line;"></p>
<!-- <p id='test' ></p> -->
</body>
<script>
const str = '{"text":"text検証\\n test"}'
const obj = JSON.parse(str)
document.getElementById('test').innerHTML = obj.text
</script>