27
20

Delete article

Deleted articles cannot be recovered.

Draft of this article would be also deleted.

Are you sure you want to delete this article?

More than 5 years have passed since last update.

欠損値のある行列の非負値行列因子分解

Last updated at Posted at 2017-10-20

欠損値のある行列の非負値行列因子分解

非負値行列因子分解(NMF)はQiitaでもいくつか紹介されていますが、
欠損値のある場合についての情報が見当たらなかったので、紹介します。

参考文献

Lee, D. D., & Seung, H. S. (n.d.). Algorithms for Non-negative Matrix Factorization.

問題設定

NMFでは、二次元の計測データYについて以下のコスト関数を最小化する非負の行列 W および H を求めます。

  • 二乗距離
    $$
    \left|| \mathrm{Y} - \mathrm{WH} \right||^2
    = \frac{1}{2}\sum_{i j} \left\{
    y_{i j} - \sum_k w_{i k} h_{k j}
    \right\}^2
    \tag{1}
    $$

  • 一般化KL距離
    $$
    \mathrm{KL}\left[\mathrm{Y} || \mathrm{WH} \right]
    = \sum_{i, j} \left\{
    y_{i j} \log\frac{y_{i j}}{\sum_k w_{i k} h_{k j}}
    - y_{i j} + \sum_k w_{i k}h_{k j}
    \right\}
    \tag{2}
    $$

欠損値があるデータYの場合を考えます。
上式の総和の部分を欠損でない要素の組
$\mathcal{I}=\{(i_0, j_0), (i_1, j_1)... \}$
についての総和に置き換えます。

  • 二乗距離
    $$
    \begin{aligned}
    \left|| \mathrm{Y} - \mathrm{WH} \right||^2
    &= \frac{1}{2}\sum_{i, j \in \mathcal{I}} \left\{
    y_{i j} - \sum_k w_{i k} h_{k j}
    \right\}^2 \\
    &= \frac{1}{2}\sum_{i, j}\left\{
    \left(y_{i j} - \sum_k w_{i k} h_{k j}\right)m_{i,j}
    \right\}^2
    \end{aligned}
    \tag{3}
    $$

  • 一般化KL距離
    $$
    \begin{aligned}
    \mathrm{KL}\left[\mathrm{Y} || \mathrm{WH} \right]
    &= \sum_{i, j\in \mathcal{I}} \left\{
    y_{i j} \log\frac{y_{i j}}{\sum_k w_{i k} h_{k j}}
    - y_{i j} + \sum_k w_{i k}h_{k j}
    \right\}\\
    &= \sum_{i, j} \left\{
    \left(y_{i j} \log\frac{y_{i j}}{\sum_k w_{i k} h_{k j}}
    - y_{i j} + \sum_k w_{i k}h_{k j}\right)m_{i j}
    \right\}
    \end{aligned}
    \tag{4}
    $$

ここでそれぞれの二行目の式は、有効な要素に関する総和をマスク行列
$\mathrm{M}=\{m_{i j}\}$ で置き換えたものです。
マスク行列M は0と1からなる行列で、Yの欠損値に対応する要素には0、それ以外には1 が入っています。

更新式

二乗距離、一般化KL距離を採用した時のそれぞれの更新式は以下のようになります。
なお、これらの導出については後ほどで述べます。

二乗距離(欠損値なし)

$$
w_{i, k} \gets w_{i k}
\frac{
\sum_j y_{i j} h_{k j}
}
{
\sum_{j k'} w_{i k'} h_{k' j} h_{k j}
}
$$

$$
h_{k j} \gets h_{k j}
\frac{
\sum_i w_{i k} y_{i j}
}
{
\sum_{i k'} w_{i k} w_{i k'} h_{k' j}
}
$$

Python では、行列積と要素演算を使うと非常に簡単に記述できます。

def update_squared_loss(Y, W, H):
  """  Update W and H with squared loss  """
  W = W * np.dot(Y, H.T) / np.dot(np.dot(W, H), H.T)
  H = H * np.dot(W.T, Y) / np.dot(W.T, np.dot(W, H))
  return W, H

二乗距離(欠損値あり)

$$
w_{i k} \gets w_{i k}
\frac{
\sum_j y_{i j} m_{i j} h_{k j}
}
{
\sum_{j k'} w_{i k'} h_{k' j} h_{k j} m_{i j}
}
$$

$$
h_{k j} \gets h_{k j}
\frac{
\sum_i w_{i k} y_{i j} m_{i j}
}
{
\sum_{i k'} w_{i k} w_{i k'} h_{k' j} m_{i j}
}
$$

Python 擬似コード

def update_squared_loss_w_mask(Y, W, H, M):
  """  Update W and H with squared loss with missing values """
  W = W * np.dot(Y * M, H.T) / np.dot(np.dot(W, H) * M, H.T)
  H = H * np.dot(W.T, Y * M) / np.dot(W.T, np.dot(W, H) * M)
  return W, H

一般化KL距離(欠損値なし)

$$
w_{i k} \gets w_{i k}
\frac{
\sum_j \frac{y_{i j}}{\sum_{k'}w_{i k'} h_{k' j}} h_{k j}
}
{
\sum_{j} h_{k j}
}
$$

$$
h_{k j} \gets h_{k j}
\frac{
\sum_i \frac{y_{i j}}{\sum_{k'}w_{i k'} h_{k' j}} w_{i k}
}
{
\sum_{i} w_{i k}
}
$$

Python 擬似コードは以下のとおりです。

def update_kl_loss(Y, W, H):
  """  Update W and H with squared loss  """
  W = W * np.dot(Y / np.dot(W, H), H.T) / np.sum(H, axis=1, keepdims=True)
  H = H * np.dot(W.T, Y / np.dot(W, H)) / np.sum(W, axis=0, keepdims=True)
  return W, H

一般化KL距離(欠損値あり)

$$
w_{i k} \gets w_{i k}
\frac{
\sum_j \frac{y_{i j} m_{i j}}{\sum_{k'}w_{i k'} h_{k' j}} h_{k j}
}
{
\sum_{j} h_{k j} m_{i j}
}
$$

$$
h_{k j} \gets h_{k j}
\frac{
\sum_i \frac{y_{i j} m_{i j}}{\sum_{k'}w_{i k'} h_{k' j}} w_{i k}
}
{
\sum_{i} w_{i k} m_{i j}
}
$$

Python 擬似コードは以下のとおりです。

def update_kl_loss_w_mask(Y, W, H, M):
  """  Update W and H with squared loss  """
  W = W * np.dot(Y * M / np.dot(W, H), H.T) / np.dot(M, H.T)
  H = H * np.dot(W.T, Y * M / np.dot(W, H)) / np.sum(W.T, M)
  return W, H

更新式の導出

二乗距離(欠損値なし)

まず、コスト関数(1)を W に関して最小化することにします。
Wに関するコスト関数を F(W) とおくと、

$$
\begin{aligned}
\mathrm{F(W)} &= \frac{1}{2}\sum_{i j} \left\{
y_{i j} - \sum_k w_{i k} h_{k j}
\right\}^2 \\
&= \frac{1}{2}\sum_{i j} \left\{
y_{i j}^2 - 2 y_{i j} \sum_k w_{i k} h_{k j}
+ \left( \sum_k w_{i k} h_{k j} \right)^2
\right\}
\end{aligned}
\tag{5}
$$
のように書けます。

方針としては、F(W) を上から抑える単純な関数Gを求め、その関数について W を最適化します。
具体的には、以下の性質を持つ関数 G(W; W') を探します。

$$
\mathrm{
F(W) = G(W; W), ;;; F(W) \leq G(W; W')
}
\tag{6}
$$

上から抑える関数のイメージについては、
チュートリアル:非負値行列因子分解
などを参考にしてください。

ここで、Jensenの不等式を思い出します。
Jensenの不等式では 下に凸の関数 $f(x)$ に対して、 $\sum_k r_k = 1$ となる $r_k$ を用いて

$$
f\left(\sum_k r_k x_k\right)
\leq
\sum_k r_k f(x_k)
$$

の関係が成り立ちます。
これを式5の第3項に適用すると $x^2$ が下に凸であることから、

$$
\begin{aligned}
\left( \sum_k w_{i k} h_{k j} \right)^2
&= \left( \sum_k r_{i j k} \frac{w_{i k} h_{k j}}{r_{i j k}} \right)^2 \\
&\leq \sum_k r_{i j k} \left(\frac{w_{i k} h_{k j}}{r_{i j k}} \right)^2
\end{aligned}
$$

を示せます。
なお $r_{i j k}$ は $\sum_k r_{i j k} = 1$ を満たす定数です。
天下り的ですが、
$$
r_{i j k} = \frac{w_{i k'} h_{k j}}{\sum_{k'} w_{i k'} h_{k' j}}
$$
としたときに、以下が式6を満たすことを示します。
$$
\begin{aligned}
\mathrm{G(W; W')}=
\frac{1}{2}\sum_{i, j} \left\{
y_{i j}^2 - 2 y_{i j} \sum_k w_{i k} h_{k j}

  • \sum_k r_{i j k} \left(\frac{w_{i k} h_{k j}}{r_{i j k}}\right)^2
    \right\}
    \end{aligned}
    \tag{7}
    $$

まず、 $\mathrm{F(W) \leq G(W; W')}$ は上に述べた通り、Jensenの不等式から示すことができます。
また $\mathrm{F(W) = G(W; W)}$ も第3項を約分すると示せます。
そのため式7を最小化するWを用いると、$\mathrm{F(W)}$ は必ず $\mathrm{F(W')}$ より小さくなることがわかります。

式7を最小化するWは、勾配がゼロの点から求めます。

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial \mathrm{G(W; W')}}{w_{i k}} = 0
;;\to;;
w_{i k} &= \frac{\sum_j h_{k j}}{\sum_{k, j} \frac{h_{k j}^2}{r_{i j k}}}
= w'_{i k} \frac{\sum_j y_{i j} h_{k j}}
{\sum_{j, k'} w'_{i k} h_{k' j} h_{k j}}
\end{aligned}
$$
となって、上で述べた更新式が示せます。

また、式の対称性を考えるとHに関する更新式も同様に示せます。

二乗距離(欠損値あり)

欠損値ありの場合も、マスク行列を用いることで同様に更新式を導くことができます。

$$
\begin{aligned}
\mathrm{G(W; W')} =
\frac{1}{2}\sum_{i, j} \left\{
y_{i j}^2 m_{i j}^2 - 2 y_{i j} \sum_k w_{i k} h_{k j} m_{i j}

  • \sum_k {r_{i j k}}\left(
    \frac{w_{i k} h_{k j}}{r_{i j k}}
    \right)^2 m_{i j}
    \right\}
    \end{aligned}
    $$

上式が式6の関係を満たすため、勾配がゼロになる点を探すと

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial \mathrm{G(W; W')}}{w_{i k}} = 0
;;\to;;
w_{i k} &= \frac{\sum_j h_{k j} m_{i j}}
{\sum_{k j} \frac{h_{k j}^2}{r_{i j k}} m_{i j}}
= w'_{i k} \frac{\sum_j y_{i j} m_{i j} h_{k j}}
{\sum_{j k'} w'_{i, k} h_{k' j} h_{k j} m_{i j}}
\end{aligned}
$$

となり、上の更新式を示せます。

一般化KL距離(欠損値なし)

同様に、コスト関数(2)を W に関して最小化することにします。
Wに関するコスト関数を F(W) とおくと、

$$
\begin{aligned}
\mathrm{F(W)} &=
\left\{
y_{i j} \log y_{i j} - y_{i j} \log \sum_k w_{i k} h_{k j}

  • \sum_k w_{i k} h_{k j}
    \right\}
    \end{aligned}
    $$

右辺括弧内第二項を上から抑える関数を探すことにします。
$-\log x$ が下に凸であることから、
$$
-\log \sum_k w_{i k} h_{k j} \leq
-\sum_k r_{i j k} \log \frac{w_{i k} h_{k j}}{r_{i j k}}
$$
を満たします。
なお $r_{i j k}$ は $\sum_k r_{i j k} = 1$ を満たす定数であり、
$$
r_{i j k} = \frac{w_{i k} h_{k j}}{\sum_{k'} w_{i k'} h_{k' j}}
$$
としたときに等号が成立します。

そのため、以下の $\mathrm{G(W; W')}$ は式6の関係をを満たします。
$$
\begin{aligned}
\mathrm{G(W; W')} &=
\left\{
y_{i j} \log y_{i j}

  • y_{i j} \sum_k r_{i j k} \log \frac{w_{i k} h_{k j}}{r_{i j k}}
  • \sum_k w_{i k} h_{k j}
    \right\}
    \end{aligned}
    $$

上式の勾配をゼロにする W とすることが、コスト関数を減少させる更新式を求めることになります。
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial \mathrm{G(W; W')}}{w_{i k}} = 0
;;\to;;
w_{i k} &= \frac{\sum_j y_{i j} r_{i j k}}
{\sum_j h_{k j}}
= w'_{i k} \frac{\sum_j \frac{y_{i j}}{\sum_{k'} w'_{i k'} h_{k' j}} h_{k j}}
{\sum_j h_{k j}}
\end{aligned}
$$

一般化KL距離(欠損値あり)

これも上と同様に、マスク行列を用いることで更新式を得ることができます。

$$
\begin{aligned}
\mathrm{G(W; W')} &=
\left\{
y_{i j} m_{i j} \log y_{i j}

  • y_{i j} m_{i j} \sum_k r_{i j k} \log \frac{w_{i k} h_{k j}}{r_{i j k}}
  • m_{i j} \sum_k w_{i k} h_{k j}
    \right\}
    \end{aligned}
    $$

上式が式6の関係を満たすため、勾配がゼロになる点を探すと

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial \mathrm{G(W; W')}}{w_{i k}} = 0
;;\to;;
w_{i k} &= \frac{\sum_j y_{i j} m_{i j} r_{i j k}}
{\sum_j h_{k j} m_{i j}}
= w'_{i k} \frac{\sum_j \frac{y_{i j} m_{i j}}
{\sum_{k'} w'_{i k'} h_{k' j}} h_{k j}}
{\sum_j h_{k j} m_{i j}}
\end{aligned}
$$

となり、上の更新式を示せます。

まとめ

NMFを協調フィルタリングに用いるためには、欠損値を扱える必要が有りますが、
簡単にアクセスできる情報がなかったので、ここにまとめました。

欠損値を扱うことができると、交差検証法も使えることになります。
因子の数を決める手段の1つになるのではないでしょうか。

27
20
3

Register as a new user and use Qiita more conveniently

  1. You get articles that match your needs
  2. You can efficiently read back useful information
  3. You can use dark theme
What you can do with signing up
27
20

Delete article

Deleted articles cannot be recovered.

Draft of this article would be also deleted.

Are you sure you want to delete this article?