横浜へなちょこプログラミング勉強会にて過去に出題された三種類の境界線を解いてみた。
回答にかかった時間は50分程度。

出題者の方が仰る「隣にあるから線がないとかいうことを度外視して全部数えてから、ここは線がないよね、と、減らしていく」方法を取った。
出題者の方の回答例と異なり上向き三角も見るようにして右横と下のセルを見るようにしているが、出題者の方の回答例を見て目から鱗だった。
下向き三角であれば左右上のセルを見る必要があるが、必ず全ての辺が他のセルと隣接しているため条件判定が非常に楽になるというのは、実装前に図を見て思いつくべきであった。

class Triangle
  def initialize
    @chars = (?a..?y).to_a
  end
  
  def count input
    input.chars.each_with_object([input.size] * 3){|c, r|
      index, height, seq = char_point c
      r[seq % 2] -= 2 if exist_next_cell? c, input
      r[2]       -= 2 if exist_bottom_cell? c, input
    }
  end

  private

  def exist_next_cell? chr, input
    index, height, seq = char_point chr
    next_cell = index + 1
    @chars[next_cell] && Math.sqrt(next_cell).floor === height && input.include?(@chars[next_cell])
  end

  def exist_bottom_cell? chr, input
    index, height, seq = char_point chr
    bottom_cell = ((height + 1) ** 2) + seq + 1
    @chars[bottom_cell] && Math.sqrt(bottom_cell).floor === (height + 1) && (seq % 2).zero? && input.include?(@chars[bottom_cell])
  end

  def char_point chr
    index  = @chars.index chr
    height = Math.sqrt(index).floor
    seq    = index - (height ** 2)
    [index, height, seq]
  end
end

test = <<_TEST
/*0*/ test( "bdelmnouy", "5,7,9" );    
/*1*/ test( "a", "1,1,1" );    
/*2*/ test( "q", "1,1,1" );    
/*3*/ test( "t", "1,1,1" );    
/*4*/ test( "i", "1,1,1" );    
/*5*/ test( "fg", "2,0,2" );    
/*6*/ test( "gh", "0,2,2" );    
/*7*/ test( "gm", "2,2,0" );    
/*8*/ test( "fgh", "1,1,3" );    
/*9*/ test( "fghm", "2,2,2" );    
/*10*/ test( "fhm", "3,3,3" );    
/*11*/ test( "bdfhjprx", "8,8,0" );    
/*12*/ test( "abcdfghm", "4,4,0" );    
/*13*/ test( "jklmqrst", "0,4,4" );    
/*14*/ test( "klmntuvw", "4,0,4" );    
/*15*/ test( "abcdefghijklmnopqrstuvwxy", "5,5,5" );    
/*16*/ test( "abcdefghijklmnoqrtvwxy", "6,8,4" );    
/*17*/ test( "abdefhijklnoprstvwxy", "10,8,4" );    
/*18*/ test( "acegikmoqsuwy", "13,13,5" );    
/*19*/ test( "bdfhjlnprtvxy", "13,11,1" );    
/*20*/ test( "abdegijlnpqsuwy", "15,15,15" );    
/*21*/ test( "aefghiqrstuvwxy", "3,3,15" );    
/*22*/ test( "cfhkmoqrstuvwxy", "7,7,15" );    
/*23*/ test( "cfhkmortvx", "10,10,10" );    
/*24*/ test( "no", "0,2,2" );    
/*25*/ test( "pwy", "3,3,3" );    
/*26*/ test( "iqwy", "4,4,4" );    
/*27*/ test( "lopuv", "3,3,5" );    
/*28*/ test( "abdjtw", "6,6,6" );    
/*29*/ test( "fgpstux", "5,3,5" );    
/*30*/ test( "dijlnotv", "6,8,2" );    
/*31*/ test( "bdefkmpwx", "5,9,3" );    
/*32*/ test( "bfghjlmuwx", "4,8,6" );    
/*33*/ test( "befghlopqrw", "5,7,9" );    
/*34*/ test( "bfgjklmnqsux", "8,6,8" );    
/*35*/ test( "fijklnpqstvwy", "9,9,9" );    
/*36*/ test( "abcdfgilmnrsuv", "8,6,6" );    
/*37*/ test( "abcdegijklnpruw", "11,11,9" );    
/*38*/ test( "efgijkmnopqrtvwx", "6,8,4" );    
/*39*/ test( "abcdefghilopqrtwy", "9,9,7" );    
/*40*/ test( "abfghklmopqrsuvwxy", "8,6,12" );    
/*41*/ test( "abcdeghklmoprstuwxy", "9,7,7" );    
/*42*/ test( "abcdehijklmnopqrtwxy", "8,8,6" );    
/*43*/ test( "acdefghimnopqrstuvwxy", "7,3,9" );    
/*44*/ test( "abcfghijklmnopqrtuvwxy", "6,6,6" );    
/*45*/ test( "abcdefghijklmnoqrstuwxy", "5,7,7" );    
/*46*/ test( "abcdeghijklmnopqrstuvwxy", "6,6,6" );
_TEST

require 'minitest/autorun'

describe 'Triangle' do
  tri = Triangle.new
  test.split("\n").each do |line|
    t, n, input, expect = line.match(/^\/\*(\d+)\*\/\s*test\(\s*"([^"]+)",\s*"([^"]+)"\s*\);*\s*$/).to_a
    it input do
      assert_equal expect, tri.count(input).join(",")
    end
  end
end