状況

content_script.js

chrome.runtime.sendMessage({type: 'sendMessage'}, response => {
  console.log('コールバック');
});

background.js

chrome.runtime.onMessage.addListener(async (message, sender, sendResponse) => {
  if (message.type === 'sendMessage') {
    await aaa();
    sendResponse({type: 'sendResponse'});
    return true;
  }
});

background.jsでchrome.runtime.onMessage.addListenerに登録する関数にasyncを指定すると、return true;を実行しても返り値がPromiseになってしまう。そのため、content_script.js側のコールバック関数が意図したタイミングで実行されない。

対処法

content_script.js

chrome.runtime.sendMessage({type: 'sendMessage'});

chrome.runtime.onMessage.addListener((message, sender, sendResponse) => {
  if (message.type === 'sendResponse') {
    console.log('コールバック');
  }
});

background.js

chrome.runtime.onMessage.addListener(async (message, sender, sendResponse) => {
  if (message.type === 'sendMessage') {
    await aaa();
    chrome.tabs.sendMessage(sender.tab.id, {type: 'sendResponse'});
  }
});

chrome.runtime.sendMessageのコールバック関数は使わず、chrome.tabs.sendMessageで新しくメッセージを送信する。