検定の種類

大きく分けると

パラメトリック：母集団のデータが仮定した分布に従っている場合（正規性や等分散など）
ノンパラメトリック：母集団の分布に決まりはない

の2種類に分類されます．

対応のあるデータ，対応のないデータ

検定をする際には，「対応がある」か「対応がない」かを考える必要があります．

対応がある
「対応がある」とは，3人に実験を実施したとすると，3人全員が全ての条件の実験を実施することを指します．
例えば，実験条件が3条件（A，B，C）あった場合，3人全員が全ての条件の実験を行った場合，対応のあるデータとなります．
対応がない
一方で，「対応がない」とは，3人（D，E，F）に実験をした際，3人それぞれが異なる条件で実験を実施することを指します．
例えば，実験条件が3条件（A，B，C）あった場合，被験者DはA，Bの2条件，被験者EがA，B，Cの3条件，被験者FがB，Cの2条件の実験を行う場合などです．

2群間の検定の代表的な例

2群間の検定は，パラメトリックかノンパラメトリックか，対応があるかないかで決定します．代表的な検定を以下にあげます．他にも検定の種類はあるので，気になる人は調べてみてください．

	対応のある	対応のない
パラメトリック	対応のあるt検定	Studentのt検定
ノンパラメトリック	Wilcoxonの符号付順位和検定	Man-WhitneyのU検定

実際に考えてみる

10人の被験者に条件X，条件Yの実験を実施し，楽しさを5段階のリッカート尺度(1:全く楽しくない―5:非常に楽しい)で評価を行った場合を考えてみましょう．10人のアンケート結果がそれぞれ

被験者	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
条件X	4	3	4	3	5	5	3	2	5	2
条件Y	2	3	2	2	3	3	4	3	2	3

だったとき，条件Xと条件Yの間に統計的な差が存在するのか調べます．検定方法の選定は以下の観点から行います．

正規性
正規性の検定(Shapiro-Wilk検定)を行った結果，条件Xは正規分布に従っているが，条件Yは正規分布に従っていないので，今回使用する検定はノンパラメトリック検定となります．
対応のありなし
今回の例では，10人全員が条件X，条件Yの両方の実験を行っているので，対応のあるデータとなります．

以上より，今回は正規性のない，対応のある2群間の検定である，Wilcoxonの符号付順位和検定を使用します．

Wilcoxonの符号付順位和検定

※この節では検定の計算方法を説明しますが，Rなどの統計ソフトを用いて検定を行う方が楽なので，実際に検定を行う際は統計ソフトを使用することをお勧めします．

まず，各被験者の条件Xと条件Yの結果の差の絶対値Zを取ります．

被験者	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
条件X	4	3	4	3	5	5	3	2	5	2
条件Y	2	3	2	2	3	3	4	3	2	3
差の絶対値Z	2	0	2	1	2	2	1	1	3	1

次に絶対値Zの小さい順に順位付けを行います．同順位の要素が存在する場合は，順位の平均を各要素に割り当てます．例えば，2位が二つ存在した場合，(2+3)/2=2.5を各要素に割り当てることになります．ただし，条件Xと条件Yの差がない，つまり絶対値Zが0となる場合，順位付けは行わず，その分標本数も減らします（今回は被験者Bを除外するため，標本数は9となります）．

被験者	A	C	D	E	F	G	H	I	J
データZ	2	2	1	2	2	1	1	3	1
順位	6.5	6.5	2.5	6.5	6.5	2.5	2.5	9	2.5

次に，「条件Xのスコア>条件Yのスコア」となっている被験者の順位の合計値Tと，「条件Xのスコア<条件Yのスコア」となっている被験者の順位の合計値tをそれぞれ算出します．

T=6.5+6.5+2.5+6.5+6.5+9=37.5
t=2.5+2.5+2.5=7.5

求めたTとtで，小さい方を検定に使用します．今回はt=7.5が小さいのでこちらを使用します．
これ以降はN数（標本の数）に応じて作業内容が変わります．

N数>25の場合

統計量Wを考えます．

W=\frac{|t-\frac{N(N+1)}4|}{\sqrt{\frac{N(N+1)(2N+1)}{24}}}

この統計量Wは標準正規分布N(0,1)に従うものです．よって，両側検定で有意水準p=0.05の検定（帰無仮説（条件Xと条件Yの間に差がない）が成立する確率が5%以下であるかどうか）を行いたい場合，Wが1.96以上のとき有意差ありとなります．この値は標準正規分布表から求めることができます．

N数<25の場合

統計量WがN数に応じて，下表の数値以下のとき，統計的有意差があると判断します．

N数	両側 p<0.05(5%)	両側 p<0.01(1%)	片側 p<0.05	片側 p<0.01
5	-	-	0	-
6	0	-	2	-
7	2	-	3	0
8	3	0	5	1
9	5	1	8	3
10	8	3	10	5
11	10	5	13	7
12	13	7	17	9
13	17	9	21	12
14	21	12	25	15
15	25	15	30	19
16	29	19	35	23
17	34	23	41	27
18	40	27	47	32
19	46	32	53	37
20	52	37	60	43
21	58	42	67	49
22	65	48	75	55
23	73	54	83	62
24	81	61	91	69
25	89	68	100	76

今回の例の場合，N=9であるため，両側検定でW<5以下の場合，有意差ありとなります．
実際に計算してみると，

\begin{align}
W&=\frac{|t-\frac{N(N+1)}4|}{\sqrt{\frac{N(N+1)(2N+1)}{24}}}\\
&=\frac{|7.5-\frac{9(9+1)}4|}{\sqrt{\frac{9(9+1)(2×9+1)}{24}}}\\
&=1.777047
\end{align}

となり，W<5であるので，条件Xと条件Yの間に統計的な有意差(p<0.05)ありとなりました．

まとめ

今回は2群間の検定のやり方について，自分の理解をまとめるためにこの記事を作成しました．
統計ソフトを使用すると上記の計算が一瞬で終わります．
実際に検定を行う際は統計ソフトを使いましょう（笑）