検定の種類
大きく分けると
- パラメトリック：母集団のデータが仮定した分布に従っている場合（正規性や等分散など）
- ノンパラメトリック：母集団の分布に決まりはない
の2種類に分類されます．
対応のあるデータ，対応のないデータ
検定をする際には，「対応がある」か「対応がない」かを考える必要があります．
-
対応がある
「対応がある」とは，3人に実験を実施したとすると，3人全員が全ての条件の実験を実施することを指します．
例えば，実験条件が3条件（A，B，C）あった場合，3人全員が全ての条件の実験を行った場合，対応のあるデータとなります． -
対応がない
一方で，「対応がない」とは，3人（D，E，F）に実験をした際，3人それぞれが異なる条件で実験を実施することを指します．
例えば，実験条件が3条件（A，B，C）あった場合，被験者DはA，Bの2条件，被験者EがA，B，Cの3条件，被験者FがB，Cの2条件の実験を行う場合などです．
2群間の検定の代表的な例
2群間の検定は，パラメトリックかノンパラメトリックか，対応があるかないかで決定します．代表的な検定を以下にあげます．他にも検定の種類はあるので，気になる人は調べてみてください．
| 対応のある | 対応のない | |
|---|---|---|
| パラメトリック | 対応のあるt検定 | Studentのt検定 |
| ノンパラメトリック | Wilcoxonの符号付順位和検定 | Man-WhitneyのU検定 |
実際に考えてみる
10人の被験者に条件X，条件Yの実験を実施し，楽しさを5段階のリッカート尺度(1:全く楽しくない―5:非常に楽しい)で評価を行った場合を考えてみましょう．10人のアンケート結果がそれぞれ
| 被験者 | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 条件X | 4 | 3 | 4 | 3 | 5 | 5 | 3 | 2 | 5 | 2 |
| 条件Y | 2 | 3 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 3 | 2 | 3 |
だったとき，条件Xと条件Yの間に統計的な差が存在するのか調べます．検定方法の選定は以下の観点から行います．
-
正規性
正規性の検定(Shapiro-Wilk検定)を行った結果，条件Xは正規分布に従っているが，条件Yは正規分布に従っていないので，今回使用する検定はノンパラメトリック検定となります． -
対応のありなし
今回の例では，10人全員が条件X，条件Yの両方の実験を行っているので，対応のあるデータとなります．
以上より，今回は正規性のない，対応のある2群間の検定である，Wilcoxonの符号付順位和検定を使用します．
Wilcoxonの符号付順位和検定
※この節では検定の計算方法を説明しますが，Rなどの統計ソフトを用いて検定を行う方が楽なので，実際に検定を行う際は統計ソフトを使用することをお勧めします．
まず，各被験者の条件Xと条件Yの結果の差の絶対値Zを取ります．
| 被験者 | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 条件X | 4 | 3 | 4 | 3 | 5 | 5 | 3 | 2 | 5 | 2 |
| 条件Y | 2 | 3 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 3 | 2 | 3 |
| 差の絶対値Z | 2 | 0 | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 3 | 1 |
次に絶対値Zの小さい順に順位付けを行います．同順位の要素が存在する場合は，順位の平均を各要素に割り当てます．例えば，2位が二つ存在した場合，(2+3)/2=2.5を各要素に割り当てることになります．ただし，条件Xと条件Yの差がない，つまり絶対値Zが0となる場合，順位付けは行わず，その分標本数も減らします（今回は被験者Bを除外するため，標本数は9となります）．
| 被験者 | A | C | D | E | F | G | H | I | J |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| データZ | 2 | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 3 | 1 |
| 順位 | 6.5 | 6.5 | 2.5 | 6.5 | 6.5 | 2.5 | 2.5 | 9 | 2.5 |
次に，「条件Xのスコア>条件Yのスコア」となっている被験者の順位の合計値Tと，「条件Xのスコア<条件Yのスコア」となっている被験者の順位の合計値tをそれぞれ算出します．
T=6.5+6.5+2.5+6.5+6.5+9=37.5
t=2.5+2.5+2.5=7.5
求めたTとtで，小さい方を検定に使用します．今回はt=7.5が小さいのでこちらを使用します．
これ以降はN数（標本の数）に応じて作業内容が変わります．
- N数>25の場合
統計量Wを考えます．
W=\frac{|t-\frac{N(N+1)}4|}{\sqrt{\frac{N(N+1)(2N+1)}{24}}}
この統計量Wは標準正規分布N(0,1)に従うものです．よって，両側検定で有意水準p=0.05の検定（帰無仮説（条件Xと条件Yの間に差がない）が成立する確率が5%以下であるかどうか）を行いたい場合，Wが1.96以上のとき有意差ありとなります．この値は標準正規分布表から求めることができます．
- N数<25の場合
統計量WがN数に応じて，下表の数値以下のとき，統計的有意差があると判断します．
| N数 | 両側 p<0.05(5%) | 両側 p<0.01(1%) | 片側 p<0.05 | 片側 p<0.01 |
|---|---|---|---|---|
| 5 | - | - | 0 | - |
| 6 | 0 | - | 2 | - |
| 7 | 2 | - | 3 | 0 |
| 8 | 3 | 0 | 5 | 1 |
| 9 | 5 | 1 | 8 | 3 |
| 10 | 8 | 3 | 10 | 5 |
| 11 | 10 | 5 | 13 | 7 |
| 12 | 13 | 7 | 17 | 9 |
| 13 | 17 | 9 | 21 | 12 |
| 14 | 21 | 12 | 25 | 15 |
| 15 | 25 | 15 | 30 | 19 |
| 16 | 29 | 19 | 35 | 23 |
| 17 | 34 | 23 | 41 | 27 |
| 18 | 40 | 27 | 47 | 32 |
| 19 | 46 | 32 | 53 | 37 |
| 20 | 52 | 37 | 60 | 43 |
| 21 | 58 | 42 | 67 | 49 |
| 22 | 65 | 48 | 75 | 55 |
| 23 | 73 | 54 | 83 | 62 |
| 24 | 81 | 61 | 91 | 69 |
| 25 | 89 | 68 | 100 | 76 |
今回の例の場合，N=9であるため，両側検定でW<5以下の場合，有意差ありとなります．
実際に計算してみると，
\begin{align}
W&=\frac{|t-\frac{N(N+1)}4|}{\sqrt{\frac{N(N+1)(2N+1)}{24}}}\\
&=\frac{|7.5-\frac{9(9+1)}4|}{\sqrt{\frac{9(9+1)(2×9+1)}{24}}}\\
&=1.777047
\end{align}
となり，W<5であるので，条件Xと条件Yの間に統計的な有意差(p<0.05)ありとなりました．
まとめ
今回は2群間の検定のやり方について，自分の理解をまとめるためにこの記事を作成しました．
統計ソフトを使用すると上記の計算が一瞬で終わります．
実際に検定を行う際は統計ソフトを使いましょう（笑）