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[Houdini] VEXで球面調和関数を使う

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動機

球面調和関数(Spherical Harmonics)は、球面上に定義されたラプラス方程式の固有モードで、球面上のスカラー場をパラメータ化するのに非常に便利です。Computer Graphicsの分野ではよく球面調和関数を使って環境光をパラメータ化したりします。

HoudiniのVEXから球面調和関数を使おうと思っていたのですが、組み込み関数があると思っていたのに無く、内蔵ライブラリにも実装されておらず、Google先生に聞いてみても誰も実装していないみたいだったので、自分で実装してみました(数年前にFast Multipole法をC++実装した時のコードが参考になりました)

sh.gif

使い方

GitHubから、ライブラリとサンプルプロジェクトをダンロードすることができます:
https://github.com/nobuyuki83/houdini_vex_sphericalharmonics

GitHubレポジトリの中にあるvex/include/my_sh.hというヘッダファイルに球面調和関数を計算する関数が実装されています。このヘッダファイルをプロジェクトファイル(*.hip)があるディレクトリ中にvex/include/というディレクトリを作ってそこに置けばインクルードして使うことができます。

球面調和関数の計算コード
#include "complex.h"

float[] my_sh
(const vector p;
 const int n)
{
  float Y[];
  resize(Y, (n+1)*(n+1));
  ////
  float x = p.x;
  float y = p.y;
  float z = p.z;
  float pi = 3.1415926535;
  float invpi = 1.0/pi;
  ////
  complex ep1 = complex(x, y);
  {
    Y[0] = 0.5*sqrt(invpi);
  }
  if( n == 0 ) return Y;
  ////
  { // 1
    float v1=-0.5*sqrt(1.5*invpi);
    Y[ 1] =v1*ep1.imag;
    Y[ 2] =+0.5*sqrt(3.0*invpi)*z;
    Y[ 3] =v1*ep1.real;
  }
  if( n == 1 ) return Y;
  ////
  complex ep2 = cmult(ep1,ep1);
  float z2 = z*z;
  {
    float v1=-0.50*sqrt(7.5*invpi)*z;
    float v2=+0.25*sqrt(7.5*invpi);
    Y[ 4] =v2*ep2.imag;
    Y[ 5] =v1*ep1.imag;
    Y[ 6] =+0.25*sqrt(5.0*invpi)*(2*z*z-x*x-y*y);
    Y[ 7] =v1*ep1.real;
    Y[ 8] =v2*ep2.real;
  }
  if( n == 2 ) return Y;
  ////
  complex ep3 = cmult(ep2,ep1);
  { // 3
    float v1=-0.125*sqrt(21*invpi)*(4*z*z-x*x-y*y);
    float v2=+0.250*sqrt(52.5*invpi)*z;
    float v3=-0.125*sqrt(35*invpi);
    Y[ 9] = v3*ep3.imag;
    Y[10] = v2*ep2.imag;
    Y[11] = v1*ep1.imag;
    Y[12] =+0.250*sqrt(7*invpi)*z*(-3*x*x-3*y*y+2*z*z);
    Y[13] = v1*ep1.real;
    Y[14] = v2*ep2.real;
    Y[15] = v3*ep3.real;
  }
  if( n == 3 ) return Y;
  ////
  complex ep4 = cmult(ep2,ep2);
  float z4 = z2*z2;
  { // 4
    float v1=-3.0/8.00*sqrt(5.0*invpi)*z*(7.0*z2-3);
    float v2=+3.0/8.00*sqrt(5*0.5*invpi)*(7.0*z2-1);
    float v3=-3.0/8.00*sqrt(35*invpi)*z;
    float v4=+3.0/16.0*sqrt(35*0.5*invpi);
    Y[16] = v4*ep4.imag;
    Y[17] = v3*ep3.imag;
    Y[18] = v2*ep2.imag;
    Y[19] = v1*ep1.imag;
    Y[20]=+3.0/16.0*sqrt(invpi)*(35*z4-30*z2+3);
    Y[21] = v1*ep1.real;
    Y[22] = v2*ep2.real;
    Y[23] = v3*ep3.real;
    Y[24] = v4*ep4.real;
  }
  if( n == 4 ) return Y;
  ////
  complex ep5 = cmult(ep4,ep1);
  { // 5
    float v1=-1.0/16.0*sqrt(82.5*invpi)*(21*z4-14*z2+1);
    float v2=+1.0/8.00*sqrt(577.5*invpi)*z*(3*z2-1);
    float v3=-1.0/32.0*sqrt(385*invpi)*(9*z2-1);
    float v4=+3.0/16.0*sqrt(192.5*invpi)*z;
    float v5=-3.0/32.0*sqrt(77*invpi);
    Y[25] = v5*ep5.imag;
    Y[26] = v4*ep4.imag;
    Y[27] = v3*ep3.imag;
    Y[28] = v2*ep2.imag;
    Y[29] = v1*ep1.imag;
    Y[30]=+1.0/16.0*sqrt(11*invpi)*z*(63*z4-70*z2+15);
    Y[31] = v1*ep1.real;
    Y[32] = v2*ep2.real;
    Y[33] = v3*ep3.real;
    Y[34] = v4*ep4.real;
    Y[35] = v5*ep5.real;
  }
  if( n == 5 ) return Y;
  ////
  complex ep6 = cmult(ep4,ep2);
  { // 6
    float v1=-1.0/16.0*sqrt(273*0.5*invpi)*z*(33*z4-30*z2+5);
    float v2=+1.0/64.0*sqrt(1365*invpi)*(33*z4-18*z2+1);
    float v3=-1.0/32.0*sqrt(1365*invpi)*z*(11*z2-3);
    float v4=+3.0/32.0*sqrt(91*0.5*invpi)*(11*z2-1);
    float v5=-3.0/32.0*sqrt(1001*invpi)*z;
    float v6=+1.0/64.0*sqrt(3003*invpi);
    Y[36] = v6*ep6.imag;
    Y[37] = v5*ep5.imag;
    Y[38] = v4*ep4.imag;
    Y[39] = v3*ep3.imag;
    Y[40] = v2*ep2.imag;
    Y[41] = v1*ep1.imag;
    Y[42]=+1.0/32.0*sqrt(13*invpi)*(231*z4*z2-315*z4+105*z2-5);
    Y[43] = v1*ep1.real;
    Y[44] = v2*ep2.real;
    Y[45] = v3*ep3.real;
    Y[46] = v4*ep4.real;
    Y[47] = v5*ep5.real;
    Y[48] = v6*ep6.real;
  }
  if( n == 6 ) return Y;
  ////
  complex ep7 = cmult(ep4,ep3);
  { // 7
    float v1=-1.0/64.0*sqrt(105*0.5*invpi)*(429*z4*z2-495*z4+135*z2-5);
    float v2=+3.0/64.0*sqrt(35*invpi)*(143*z4*z-110*z2*z+15*z);
    float v3=-3.0/64.0*sqrt(35*0.5*invpi)*(143*z4-66*z2+3);
    float v4=+3.0/32.0*sqrt(385*0.5*invpi)*(13*z2*z-3*z);
    float v5=-3.0/64.0*sqrt(385*0.5*invpi)*(13*z2-1);
    float v6=+3.0/64.0*sqrt(5005*invpi)*z;
    float v7=-3.0/128.0*sqrt(1430*invpi);
    Y[49] = v7*ep7.imag;
    Y[50] = v6*ep6.imag;
    Y[51] = v5*ep5.imag;
    Y[52] = v4*ep4.imag;
    Y[53] = v3*ep3.imag;
    Y[54] = v2*ep2.imag;
    Y[55] = v1*ep1.imag;
    Y[56]=+1.0/32.0*sqrt(15*invpi)*(429*z4*z2*z-693*z4*z+315*z2*z-35*z);
    Y[57] = v1*ep1.real;
    Y[58] = v2*ep2.real;
    Y[59] = v3*ep3.real;
    Y[60] = v4*ep4.real;
    Y[61] = v5*ep5.real;
    Y[62] = v6*ep6.real;
    Y[63] = v7*ep7.real;
  }
  if( n == 7 ) return Y;
  ////
  complex ep8 = cmult(ep4,ep4);
  float z8 = z4*z4;
  {  // 8
    float v1=-3.0/64.00*sqrt(17*0.5*invpi)*(715*z4*z2*z-1001*z4*z+385*z2*z-35*z);
    float v2=+3.0/128.0*sqrt(595*invpi)*(143*z4*z2-143*z4+33*z2-1);
    float v3=-1.0/64.00*sqrt(19635*0.5*invpi)*(39*z4*z-26*z2*z+3*z);
    float v4=+3.0/128.0*sqrt(1309*0.5*invpi)*(65*z4-26*z2+1);
    float v5=-3.0/64.00*sqrt(17017*0.5*invpi)*(5*z2*z-z);
    float v6=+1.0/128.0*sqrt(7293*invpi)*(15*z2-1);
    float v7=-3.0/64.00*sqrt(12155*0.5*invpi)*z;
    float v8=+3.0/256.0*sqrt(12155*0.5*invpi);
    Y[64] = v8*ep8.imag;
    Y[65] = v7*ep7.imag;
    Y[66] = v6*ep6.imag;
    Y[67] = v5*ep5.imag;
    Y[68] = v4*ep4.imag;
    Y[69] = v3*ep3.imag;
    Y[70] = v2*ep2.imag;
    Y[71] = v1*ep1.imag;
    Y[72]=+1.0/256.0*sqrt(17*invpi)*(6435*z8-12012*z4*z2+6930*z4-1260*z2+35);
    Y[73] = v1*ep1.real;
    Y[74] = v2*ep2.real;
    Y[75] = v3*ep3.real;
    Y[76] = v4*ep4.real;
    Y[77] = v5*ep5.real;
    Y[78] = v6*ep6.real;
    Y[79] = v7*ep7.real;
    Y[80] = v8*ep8.real;
  }
  if( n == 8 ) return Y;
  ////
  complex ep9 = cmult(ep4,ep5);
  { // 9
    float v1=-3.0/256*sqrt(95*0.5*invpi)*(2431*z8-4004*z4*z2+2002*z4-308*z2+7); //1
    float v2=+3.0/128*sqrt(1045*invpi)*z*(221*z4*z2-273*z4+91*z2-7); //2
    float v3=-1.0/256*sqrt(21945*invpi)*(221*z4*z2-195*z4+39*z2-1); //3
    float v4=+3.0/256*sqrt(95095*2*invpi)*z*(17*z4-10*z2+1); //4 *
    float v5=-3.0/256*sqrt(2717*invpi)*(85*z4-30*z2+1); //5
    float v6=+1.0/128*sqrt(40755*invpi)*z*(17*z2-3); //6
    float v7=-3.0/512*sqrt(13585*invpi)*(17*z2-1); //7
    float v8=-3.0/512*sqrt(230945*2*invpi)*z; //7
    float v9=-1.0/512*sqrt(230945*invpi); //7
    Y[81] = v9*ep9.imag;
    Y[82] = v8*ep8.imag;
    Y[83] = v7*ep7.imag;
    Y[84] = v6*ep6.imag;
    Y[85] = v5*ep5.imag;
    Y[86] = v4*ep4.imag;
    Y[87] = v3*ep3.imag;
    Y[88] = v2*ep2.imag;
    Y[89] = v1*ep1.imag;
    Y[90]=+1.0/256*sqrt(19*invpi)*z*(12155*z8-25740*z4*z2+18018*z4-4620*z2+315); // 0
    Y[91] = v1*ep1.real;
    Y[92] = v2*ep2.real;
    Y[93] = v3*ep3.real;
    Y[94] = v4*ep4.real;
    Y[95] = v5*ep5.real;
    Y[96] = v6*ep6.real;
    Y[97] = v7*ep7.real;
    Y[98] = v8*ep8.real;
    Y[99] = v9*ep9.real;
  }
  return Y;
}

使い方は簡単で、Point WrangleなどのVEXが使えるノードで、my_sh.hをインクルードして、my_shという関数を呼ぶだけです。関数を呼ぶ時には球面上の一点のXYZ座標と、球面調和関数の次数を引数として渡すと、球面調和関数の値が配列として返ってきます。

#include "my_sh.h"

int ndegree = 9;
float sh[] = my_sh(@P,ndegree);

作例

これを使って、冒頭のGIF動画のようなランダムな形のジェネレータを書いてみます。

以下のようにノードを組みます。(球を生成)→(球の頂点を法線方向に移動)→(球の法線を再計算)という流れです。

Screenshot 2019-08-24 19.54.11.png

これがPoint Wrangleノードの中身のVEXコードは以下のように書きました:

#include "my_sh.h"

int ndegree = 9; // 9次まで計算
float sh[] = my_sh(@P,ndegree); // 球面調和関数のndegreeの次数まで計算

float disp = 0.0; // 法線方向の変位
for(int i=0;i<len(sh);++i){
    float coeff_i = (2*rand(i+@Frame)-1)/(i+1); // 各球面調和関数に対応するランダムな重み。
    disp += coeff_i * sh[i];
}

@P = @P + 1.5*disp*@N; // 法線方向に押し出し

おわりに

球面調和関数は研究ではよく使うツールだと思いますが、VEXに実装されてないのは不思議でした。実装はそんなに自明じゃない気がします。私のコードが何かの参考になれば嬉しいです。

参考

理論と実践で学ぶHoudini -SOP&VEX編-
https://www.amazon.co.jp/dp/4862463592

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