はじめに
HoTTとは何か
「型」を「空間」として捉える
想定読者
記事の中心の問い
TL;DR
HoTT が「型」を「空間」として扱うとは、どういうことか？
「同じ」の粗さを変えると、次元は残らない
- 同相 ── 細かい見方
- ホモトピー同値 ── 粗い見方
- ２つの見方の落差
位相幾何学・ホモトピー論・HoTT の違い
- "次元を保つかどうか？" で見ると
なぜ、全単射の条件を外したのか ── ２つの分野の成り立ち
位相幾何学の成立
- ホモトピー論とHoTTは何が違うのか
では、なぜHoTTは考案されたのか？
- - きっかとなったのは、証明の検証
集合論では、なぜ足りなかったのか
そこで、「等しさ」の定義を設計しなおす
表で整理すると
動機の違いに注目してください
- まとめ
- 潰れ方が止まる場所が、骨組みを決める
- HoTTの型が実現しているもの
- 関数もまた、ある型の要素です
fとgは、別の点です
しかし、２点は経路で結ばれます
「同型なら同じ」「振る舞いが同じなら同じ」は、経路の言葉でどう表されるのか
- 問題は、「経路がある」と言い切れないこと
Univalence Axiom ── 同型に経路を与える
- - 関数外延性 ── 振る舞いの一致に経路を与える
２つの慣習が、同じ形に収まる
「どの同型を使ったか」が経路として残る
補足：４つの「等しさ」は、HoTT の言葉では何段目にあたるのか
- h-level は、「等しさ」ではなく「型」に付く番号です
１. 「集合として要素が同じ」── 舞台は h-level 2、等式は h-level 1
２. 「同型として同じ」── 舞台は h-level 3、等式は h-level 2
なぜ「亜群」と呼ぶのか
- 数学用語に関する注意喚起 ── 「亜群」には、まったく別の意味がある
- ３. 「振る舞いとして同じ」── これは「段」ではなく「手段」です
- ４. 「経路の集まりとして同じ」── 舞台は h-level 3 以上、あるいは有限の段を持たない
- ４つのまとめ
- 注意：「１つ上の次元へ」と、h-level は逆向きに動きます
プログラミングのデータ型は、h-level いくつか
- Int、Str ── h-level 2（集合）
- List ── 中身の h-level を、そのまま引き継ぐ
- Set ── ここで用語の罠があります
- Func ── 行き先だけで決まります
数学の概念は、h-levelいくつか
- 要素を見るとき ── h-level 2
- 構造そのものを並べるとき ── h-level 3
- さらに上へ ── 圏の型は h-level 4
- 一覧
- 境目はどこにあるか
補足：どんな型なら、何本の道があるのか
- 「型」と「道の種類（数）」との対応関係
- この表を、h-level の言葉に翻訳すると
- 豊かさが顔を出す段は、型ごとに違う
- なぜ、この階段は無限に続くのか
- 「型」を空間に、「値」を点に、「等しさ」を道に読み替えることで可能になったこと
複数の等しさが生じる型 ── 具体例と、その意味
プログラミングの世界
数学の世界
円周 $S^1$
トーラス $T^2$（ドーナツの表面）
８の字（２つの輪をつないだ図形）
クラインの壺
実射影平面 $ℝP^2$
球面 $S^2$、$S^3$、…
群 $G$ の分類空間 $BG$
分類空間（classifying space）$BG$ とは、点がひとつだけの空間でありながら、その点から自分自身への道が、群 $G$ の元の数だけあるような対象のことです。
モジュライ空間
- 複数の等しさが「発見された」ことは、研究をどう変えたのか
- 展望 ── これから期待されていること
なぜ、等しさの舞台は「ひとつ下」になるのか
- 理由１：定義がそう言っている
- 理由２：両端が固定されるぶん、自由度が減る
- 理由３：証拠は、元の対象より単純である
- 理由４：ループ空間との対応
- 実務的なまとめ
HoTT が注目されているコミュニティ
圏論・∞-圏論
定理証明支援系・形式証明
プログラミング言語理論・関数型プログラミング
数理物理・量子計算
AI 研究・AI 安全性
「レベルの異なる複数の等しさ」を識別する視座が、どの分野でどう役立っているか？
補遺：より厳密な言い方について
１. Grothendieck のホモトピー仮説は「仮説」であって定理ではない
２. Univalence Axiom の正確な主張
３. 「同型なら等しい」は Univalence から導かれる結果
４. 関数外延性は Univalence から導出できる
５. Shulman の定理が示したこと
６. ∞-圏の体系化の帰属
７. simplicial HoTT と有向 Univalence 公理
８. Lean/mathlib の規模について
９. seL4 の採用事例について