TL;DR ── この記事を読んで、Python 機械学習プログラマが得られること
TQFT とは何か ── まず、ひとことで
- いつの時代に、なぜ物理学で生まれたのか
- TQFTは、どう役立っているのか
- AIと計算機科学へと広がる地図
- この記事の射程 ── 何を狙い、何を狙わないか
- 本記事で追いかける4つのテーマ
- 主張の成熟度のスコア表示 ── 「事実」と「期待」を区別するために
想定読者と、本記事の射程
登場人物 ── 圏峰工科大学の研究室
序章（第０章） ── TQFT が生まれた瞬間
序章 ── TQFT という名の、交差点
第１幕 ── 場の量子論（QFT）── 20世紀後半の最大の理論
- Python で経路積分の片鱗を体感
第２幕 ── 位相幾何学（Topology）── 形を、本質で捉える数学
- Python で実装する位相的データ解析（TDA）
第３幕 ── コボルディズム（Cobordism）── TQFT の核心舞台
- Atiyah の TQFT の公理化（1988）
- Python で TQFT の簡単なケースを実装
- 多言語によるコード実装の地図 ── TQFT に近づく５つの言語
- さらなる言語の地図 ── TQFT を多角的に体感する4つの追加言語
  - コード６ :Lean 4 ── Mathlib による現代数学の形式化
  - コード７: Coq ── 形式証明系の本道
  - コード８: Cubical Agda ── HoTT の計算可能な実装
  - コード９: Mathematica/Wolfram Language ── Witten・Atiyah が実際に使った言語
  - コード１０: Prolog ── 圏論的推論を、論理プログラミングで表現
- ９つの言語の地図 ── まとめ
第４幕 ── Witten（1988年）── 物理から TQFT へ
- Witten の核心的貢献
- Witten のもう一つの世界 ── $M$ 理論
第５幕 ── Atiyah（1988年）── TQFT の数学的公理化
- Atiyah による TQFT の公理化
- Witten と Atiyah の関係
第６幕の前に ── 「高次圏」への、最小限の足場
第6幕 ── Lurie のコボルディズム仮説（2009）── TQFT の高次圏論的分類
- コボルディズム仮説（Cobordism Hypothesis）
- TQFT と機械学習の接続点
第７幕 ── 機械学習プログラマへの実装ガイド ── TDA、TDL、QML
- 応用１: TDA（Topological Data Analysis、位相的データ解析）
- 応用２: TDL（Topological Deep Learning、位相的深層学習）
- 応用３: QML（Quantum Machine Learning、量子機械学習）
第８幕 ── AI Agent、LLM と TQFT の接続点
- 接続点１: アテンションの圏論的構造
- 接続点２: AI エージェントの合成的構造
- 接続点３: 複数の道具を組み合わせて使う構造
- 接続点４: 幾何学的ラングランズとAI
- 接続点５: 形式検証とAIアライメント ── 数学を計算機で証明する道
- 機械学習プログラマと専門研究者、両方への呼びかけ
第９幕 ── 学習ロードマップ ── 高校数学から TQFT 専門書まで
- ステップ１: 高校数学・高校物理の復習（1〜3ヶ月）
- ステップ２: 大学初級数学・物理（6ヶ月〜1年）
- ステップ３: 大学院初級（1〜2年）
- ステップ４: TQFT 入門（1〜2年）
- ステップ５: 研究最前線（2〜5年）
- ロードマップの所要時間
結章 ── TQFT を視界に収める、ということ
- TQFT を視界に収める、ということ
- 真の意味
この先の地図 ── 続編（スピンアウト）と、姉妹編 Zenn Book
関連する話題 ── さらに広い地図
参考文献
- TQFT の原典
- TQFT の教科書
- 高次圏論と Cobordism Hypothesis
- Witten と Atiyah の伝記・回顧
- Topological Data Analysis（TDA）
- Topological Deep Learning（TDL）
- Quantum Machine Learning
- Categorical Deep Learning
- Geometric Langlands × AI
- Étale Cohomology による関連記事
あとがき
著者について
専門書に進まれる方のために：数学的に厳密な議論に関する補遺
- 1. 「2次元 TQFT＝可換フロベニウス代数」は、誰の結果か
- 2. 「ディラック作用素の指数＝オイラー標数」について
- 3. Idris のコードと Haskell のコードで、「次元」の扱いが食い違っている
- 4. Witten の論文は「1本」ではなく「2本」ある
- 5. Lurie（2009）は「完全な証明」と言い切れるか
- 6. Atiyah の言葉は「要約」であって、逐語引用ではない
- 7. 「○○と××は深く似ている」という言い方について
- 8. 量子回路の「ブレイディング風」について
- 9. こまかな点：体（スカラー）の選び方