二項分布からPoisson分布導出

母数nで、発生確率pの事象がx回発生するか。

P(x|n,p)=_n\mathrm{C}_xp^x(1-p)^{n-x}

確率pがnの関数として、$p_n$と書くと、

P(x|n,p_n)=_n\mathrm{C}_xp_n^x(1-p_n)^{n-x}

nによらず$np_n=\lambda$を仮定する。（期待値が全て一緒$\lambda$）

P(x|n,p_n)=\frac{n!}{x!(n-x)!}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^x\left(\frac{n-\lambda}{n}\right)^{n-x}\\
e^{-\lambda}=1-\lambda+\lambda^2/2-\lambda^3/6+\cdots

$n\rightarrow \infty$がPoisson分布だから、

\bar{P}(x|\lambda)\equiv\lim_{n\to\infty}P(x|n,p_n)=\frac{\lambda^x e^
{-\lambda}}{x!}

Poisson分布エラーバーの考え方

ポアソン分布に従う事象がx=5回起こった場合，パラメータλの「95%信頼区間」（Confidence Interval，CI）とは，

\sum_{x=5}^\infty \bar{P}(x,\lambda_{\rm upper})=0.025\\
\sum_{x=0}^0 \bar{P}(x,\lambda_{\rm lower})=0.025

を満たす$\lambda_{\rm lower}, \lambda_{\rm upper}$を両端点とする区間$\lambda_{\rm lower}<\lambda<\lambda_{\rm upper}$となる。

ベイズの定理

P(\lambda|DATA)=\frac{P(DATA|\lambda)p(\lambda)}{\int_0^\infty P(DATA|\lambda)p(\lambda)d\lambda}

ガンマ分布は

\Gamma(\alpha,\beta)=\frac{1}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}\\
\Gamma(s)=\int_0^\infty t^{s-1}e^{-t}dt

$\alpha=1$のとき、ガンマ関数は指数関数になる。

\Gamma(1,\beta)=\frac{e^{-x/\beta}}{\beta}

事前確率$p(\lambda)=\Gamma(1,1)$とすると、

P(\lambda|x)=\frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}\frac{1}{\lambda}e^{-x/\lambda}/\int_0^\infty\frac{\lambda^x}{x!} e^{-2\lambda}d\lambda
=2^{x+1}\frac{\lambda^x}{x!}e^{-2\lambda}