Keyboard Extensionの収容アプリには「有効化したら画面遷移する」という挙動を示すものがあります。

この動作は非常に単純で、まず次のような関数を定義します。

func isKeyboardActivated() -> Bool {
    let bundleName = "hogehoge"       //自分のKeyboard ExtensionのBundleIDを指定する。
    guard let keyboards = UserDefaults.standard.dictionaryRepresentation()["AppleKeyboards"] as? [String] else{
        return true
    }
    return keyboards.contains(bundleName)
}

"AppleKeyboards"というキーで、ユーザが有効化しているキーボードのBundleIDを全て取得できるので、その中に含まれているか確かめればOKです。

あとはこの関数を「バックグラウンドから復帰したタイミング」などで呼んであげれば有効化されたかチェックができます。

~~ただ、今のところ「どのキーボードが開かれているか」を取得できていません。ご存知の方がいらっしゃったら教えていただきたいです。~~
開かれているキーボードの取得方法がわかりました。「[Swift] 現在開かれているキーボードを取得する」をご覧ください。