「ライブラリ」
プログラムを作成する上での便利な機能群。(便利なプログラムの部品を沢山集めて、ひとまとめにしたファイルのこと。) 例：Maven
便利な機能を含む、フレームワーク、ユーティリティなどもライブラリという。
「Java API」
クラスライブラリ。Javaにあらかじめ添付されている多数のクラス群のこと。
JDK、フレームワーク(サーブレット、struts、spring)、ユーティリティ(ant/jmeter/poi)など。
「パッケージ」
一つの意味としてはjavaの名称(フォルダ階層)。
また別の意味で製品(JBoss、oracleDB)や、サービスのかたまりのこと。
ライブラリで集めたプログラムを、似た機能ごとにあつめたもの。
上記してる、フレームワーク、ユーティリティもパッケージ。